Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, если угол C равен 90 градусов и радиус описанной окружности

Для решения данной задачи нам пригодится теорема Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, длины катетов обозначены как AC и BC, а длина гипотенузы обозначена как AB.

Давайте рассмотрим подробное решение.

1. Найдем длины катетов треугольника ABC.
Для этого воспользуемся радиусом описанной окружности R. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности является половиной гипотенузы, то есть R = \(\frac{AB}{2}\).
Отсюда мы можем найти длину гипотенузы AB, умножив радиус описанной окружности R на 2: AB = 2R.

2. Найдем длину катета AC.
Так как угол C является прямым, то треугольник ABC является прямоугольным. Длина катета AC равна радиусу описанной окружности R, то есть AC = R.

3. Найдем длину катета BC.
Так как треугольник ABC является прямоугольным, то длина катета BC можно найти вычитанием длины катета AC из длины гипотенузы AB: BC = AB - AC.

Теперь, когда мы знаем длины катетов AC и BC, мы можем найти длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора:
AB² = AC² + BC².

Складываем квадраты длин катетов и находим квадрат длины гипотенузы:
AB² = R² + (AB - R)².

Раскрываем скобки:
AB² = R² + (AB - R)² = R² + AB² - 2ABR + R².

Теперь мы можем сократить AB² с обеих сторон уравнения:
0 = 2R² - 2ABR.

Выносим общий множитель 2R:
2R(AB - R) = 0.

Так как R не может быть равно нулю, то у нас остается:
AB - R = 0.

Добавляем R к обеим сторонам:
AB = R.

Таким образом, мы получаем, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной окружности R.