Какова длина промежутка, на котором функция у = 3х в 5-й степени - 5х в 3-й степени убывает (или сумма длин таких

Для начала, давайте разделим задачу на две части. Сначала найдем значения x, на которых функция \(y = 3x^5 - 5x^3\) убывает. Затем, найдем длины промежутков, на которых функция убывает.

Чтобы узнать, на каких значениях x функция убывает, нам нужно найти производную \(y"\). Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Если производная отрицательна в какой-то точке, то функция убывает в этой точке.

Производная функции \(y = 3x^5 - 5x^3\) находится путем применения правила дифференцирования степенной функции. Правила дифференцирования говорят нам, что для функции вида \(f(x) = ax^n\), ее производная равна \(f"(x) = anx^{n-1}\).

Таким образом, производная \(y"\) будет равна:

\[y" = \frac{d}{dx}(3x^5 - 5x^3) = 15x^4 - 15x^2\]

Теперь, чтобы найти значения x, на которых функция убывает, решим неравенство \(y" < 0\). Нам нужно найти значения x, для которых производная отрицательна.

\[15x^4 - 15x^2 < 0\]

Давайте проведем факторизацию этого неравенства. Вынесем общий множитель, получим:

\[15x^2(x^2 - 1) < 0\]

Теперь, чтобы внутреннее выражение было меньше нуля, нам нужно, чтобы либо \(x^2 < 1\), либо \(x^2 - 1 < 0\). Рассмотрим оба случая.

1) Если \(x^2 < 1\), тогда x находится в интервале (-1, 1).
2) Если \(x^2 - 1 < 0\), тогда x находится в интервале (-1, 1).

Объединяя оба случая, получаем, что x должно находиться в интервале (-1, 1), чтобы функция убывала.

Теперь давайте найдем длину этого промежутка. Длина промежутка - это разница между правым и левым концом промежутка. В данном случае, длина промежутка равна \(1 - (-1) = 2\).

Таким образом, ответ на задачу: длина промежутка, на котором функция у = 3х в 5-й степени - 5х в 3-й степени убывает, равна 2.