Какова длина гипотенузы, если sin a равен 4/9?

Чтобы найти длину гипотенузы, будем использовать основное тригонометрическое соотношение для прямоугольного треугольника — теорему Пифагора. Дано, что \(\sin a = \frac{4}{9}\).

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\) выполняется соотношение \(a^2 + b^2 = c^2\).

В нашем случае, гипотенуза \(c\) неизвестна, но мы можем использовать свойство синуса: \(\sin a = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).

Подставляя значения, получаем \(\frac{4}{9} = \frac{b}{c}\).

Чтобы избавиться от дроби, мы можем умножить обе стороны уравнения на \(c\):

\(\frac{4}{9} \cdot c = b\).

Теперь мы знаем, что \(b\) равен \(\frac{4}{9}\) длины гипотенузы.

Далее, чтобы найти длину гипотенузы \(c\), мы можем подставить это значение в теорему Пифагора:

\(a^2 + \left(\frac{4}{9}c\right)^2 = c^2\).

Раскрываем скобки:

\(a^2 + \frac{16}{81}c^2 = c^2\).

Переносим члены уравнения на одну сторону:

\(a^2 = c^2 - \frac{16}{81}c^2\).

Упрощаем выражение:

\(a^2 = \frac{65}{81}c^2\).

Для того чтобы избавиться от корня, возьмём квадратный корень от обеих сторон:

\(a = \sqrt{\frac{65}{81}c^2}\).

Упрощаем выражение:

\(a = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{81}}c\).

Сокращаем корни:

\(a = \frac{\sqrt{65}}{9}c\).

Наконец, чтобы найти длину гипотенузы \(c\), мы можем разделить обе стороны на \(\frac{\sqrt{65}}{9}\):

\(\frac{a}{\frac{\sqrt{65}}{9}} = c\).

Итак, длина гипотенузы равна \(\frac{a}{\frac{\sqrt{65}}{9}}\), где \(a\) — это значение синуса, которое дано в задаче.