Какова длина дуги кривой, заданной уравнением y = x^2 - 1, ограниченной осью?

Для определения длины дуги кривой нам необходимо использовать интеграл. Пусть у нас есть функция \(y = x^2 - 1\) и нужно найти длину дуги, ограниченной осью \(x\).

Давайте разобьем длину дуги на маленькие отрезки, где каждый отрезок будет приближенной линией дуги. Затем мы найдем сумму всех этих маленьких отрезков и возьмем предел этой суммы приближая ширину отрезков к нулю, чтобы получить точное значение длины дуги.

Для нахождения длины каждого маленького отрезка дуги, мы будем использовать формулу длины дуги, которая представляется следующим образом:

\[ \Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \]

Где \(\Delta x\) - это ширина отрезка, а \(\Delta y\) - это разность значений функции между двумя точками.

Теперь давайте приступим к нахождению длины дуги.

1. Сначала найдите производную функции \(y = x^2 - 1\). Производная будет:

\[ \frac{dy}{dx} = 2x \]

2. Разделим длину дуги на малые отрезки, каждый шириной \(\Delta x\). Тогда длина отрезка будет:

\[ \Delta s = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \cdot \Delta x \]

3. Теперь найдем сумму всех этих маленьких отрезков, чтобы получить длину дуги. Это может быть сделано с помощью интеграла:

\[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

Где \(a\) и \(b\) - это начальная и конечная точки на оси \(x\).

Теперь мы можем приступить к подсчету длины дуги кривой.

1. Найдем производную функции \(y = x^2 - 1\):
\[ \frac{dy}{dx} = 2x \]

2. Теперь найдем \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\):
\[ \sqrt{1 + (2x)^2} = \sqrt{1 + 4x^2} \]

3. Теперь у нас есть интеграл для нахождения длины дуги:
\[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx \]

В этом случае кривая ограничена осью \(x\), поэтому начальная точка \(a\) будет минимальным значениям \(x\), а конечная точка \(b\) будет максимальным значениям \(x\), где кривая пересекает ось \(x\).

Теперь вам необходимо указать конкретные значения \(a\) и \(b\), чтобы я смог вычислить длину дуги кривой. Пожалуйста, предоставьте эти значения, чтобы я мог продолжить расчет.