Какова длина диагонали параллелепипеда, если меньшая сторона его основания равна 9 метров, а высота - 12 метров

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться Теоремой Пифагора. По данной задаче, у нас есть параллелепипед, у которого меньшая сторона основания равна 9 метров, а высота равна 12 метров.

Чтобы найти длину диагонали параллелепипеда, нам понадобится знать длину меньшей боковой грани. Давайте обозначим ее через \(a\). Мы также знаем, что диагональ образует угол 60 градусов с меньшей боковой гранью.

Для начала, давайте найдем значение \(a\). Обратимся к тригонометрическому определению синуса: \(\sin(\theta) = \frac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}}\).

В нашем случае, \(a\) является противоположной стороной угла 60 градусов, и \(12\) является гипотенузой, поскольку это двумерная проекция диагонали на меньшую боковую грань. Таким образом, мы можем записать:

\[\sin(60^{\circ}) = \frac{a}{12}\]

Далее, найдем значение синуса 60 градусов. Мы знаем, что \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{12}\]

Для решения этого уравнения относительно \(a\) нужно перемножить обе стороны на 12, и мы получим:

\[a = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[a = 6\sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(a\), мы можем применить Теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали параллелепипеда. Согласно теореме Пифагора, диагональ и основание параллелепипеда и треугольник с основанием \(a\) и высотой \(9\) образуют прямоугольный треугольник.

Мы можем записать уравнение:

\[d^2 = 9^2 + (6\sqrt{3})^2\]

\[d^2 = 81 + 108\]

\[d^2 = 189\]

Чтобы найти длину диагонали, нужно извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[d = \sqrt{189} \approx 13.74\,\text{метра}\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет около 13.74 метров.