Какова длина диагоналей параллелограмма с равными сторонами 5 см и 4 см, при угле между ними, равном 120°?

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и тригонометрию. Давайте посмотрим пошаговое решение.

1. Начнем с построения параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Чтобы нарисовать параллелограмм, нарисуем две основные стороны длиной 5 см и 4 см, и угол между ними равный 120°. Мы можем использовать угловой циркуль и линейку для этого.

[вставить изображение параллелограмма с пометками сторон и угла]

2. Диагонали параллелограмма - это отрезки, соединяющие противоположные вершины.

Пусть \(AC\) и \(BD\) - диагонали параллелограмма. Мы должны вычислить их длину.

3. Разделим параллелограмм на два равных треугольника \(ABC\) и \(ACD\), соединив диагональ \(AC\).

[вставить изображение параллелограмма с пометкой диагонали и треугольниками]

4. Заметим, что треугольник \(ABC\) - это равносторонний треугольник, так как все его стороны равны 5 см.

Также, угол \(BAC\) равен 120°, а у равностороннего треугольника все углы равны 60°. Это означает, что угол \(DAB\) также равен 60°.

5. Мы можем использовать тождество косинусов в треугольнике \(ABD\), чтобы вычислить длину диагонали \(AD\).

Тождество косинусов гласит:

\[AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(DAB)\]

В нашем случае, \(AB = 5\) см и \(\cos(DAB) = \cos(60°) = \frac{1}{2}\).

Также, по свойству параллелограмма, \(BD = AC\).

Подставим известные значения:

\[AD^2 = 5^2 + AC^2 - 2 \cdot 5 \cdot AC \cdot \frac{1}{2}\]

Сократим и приведем подобные термины:

\[AD^2 = 25 + AC^2 - 5AC\]

6. Теперь посмотрим на треугольник \(ACD\). У него две стороны равны парами с другими сторонами параллелограмма: \(AC = BD = 4\) см и \(AD\) - это диагональ, которую мы хотим найти.

Мы можем использовать тождество косинусов в этом треугольнике, чтобы вычислить \(AD\).

Тождество косинусов гласит:

\[AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(CAD)\]

В нашем случае, \(AC = 4\) см и \(\cos(CAD) = \cos(60°) = \frac{1}{2}\).

Подставим известные значения:

\[AD^2 = 4^2 + CD^2 - 2 \cdot 4 \cdot CD \cdot \frac{1}{2}\]

Сократим и приведем подобные термины:

\[AD^2 = 16 + CD^2 - 4CD\]

7. Обратимся к свойствам параллелограмма. Если мы проследим за диагоналями \(AC\) и \(BD\), то заметим, что они пересекаются в точке \(O\) и делятся пополам. Это означает, что \(CD = \frac{1}{2}AC\) и \(BD = \frac{1}{2}AD\).

Подставим эти значения в уравнение из пункта 6:

\[AD^2 = 16 + \left(\frac{1}{2}AC\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}AC\]

Упростим:

\[AD^2 = 16 + \frac{1}{4}AC^2 - 2AC\]

8. Теперь у нас есть два уравнения для \(AD^2\) из пунктов 5 и 7. Приравняем их:

\[25 + AC^2 - 5AC = 16 + \frac{1}{4}AC^2 - 2AC\]

Упростим и перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[\frac{3}{4}AC^2 - 3AC + 9 = 0\]

9. Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно \(AC\). Решим его с помощью квадратного корня:

\[AC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, \(a = \frac{3}{4}\), \(b = -3\) и \(c = 9\).

Подставим значения:

\[AC = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot 9}}{2 \cdot \frac{3}{4}}\]

Упростим:

\[AC = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 9}}{\frac{6}{4}}\]

\[AC = \frac{3 \pm \sqrt{0}}{\frac{6}{4}}\]

Заметим, что у нас получилось выражение под корнем равное нулю. Это значит, что для заданных размеров сторон и угла между ними, длина диагоналей будет равна 0.

Ответ: Длина диагоналей параллелограмма с равными сторонами 5 см и 4 см, при угле между ними, равном 120°, равна 0.