Какова длина CM в треугольнике ABC, где ∠A = α, ∠B = β, точка D на стороне AB и точка M на стороне AC, так

Чтобы решить данную задачу, давайте взглянем на треугольник ABC и вспомним некоторые свойства биссектрисы треугольника.

Дано, что точка D находится на стороне AB и является точкой пересечения биссектрисы треугольника ABC с этой стороной. Точка M находится на стороне AC и параллельна стороне BC. Также дано, что угол A равен α, а угол B равен β.

Давайте начнем с рассмотрения углов треугольника ABC. Угол C является внешним углом треугольника ADM, поэтому он равен сумме углов A и B:

$\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B=\alpha +\beta$

Теперь перейдем к рассмотрению отрезка CM. Поскольку DM параллельна BC, угол ADM также равен углу C. Однако, поскольку точки D, M и C лежат на одной прямой, угол C также является внутренним углом треугольника CDM, и поэтому равен половине угла ACD.

Таким образом, получаем:

$\mathrm{\angle }CDM=\mathrm{\angle }C=\alpha +\beta$

Теперь обратимся к треугольнику CDM. У него имеются два угла: CDM и CMD. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому:

$\mathrm{\angle }CDM+\mathrm{\angle }CMD+\mathrm{\angle }DCM={180}^{\circ }$

Подставим значения угла CDM, равного α + β:

$\alpha +\beta +\mathrm{\angle }CMD+\mathrm{\angle }DCM={180}^{\circ }$

Заметим, что углы CMD и DCM являются соответственно внутренними углами треугольников ADM и BDM, так как параллельные прямые DM и BC пересекаются прямой AC.

Таким образом, получаем:

$\alpha +\beta +\mathrm{\angle }CMD+\mathrm{\angle }DCM={180}^{\circ }$

$\alpha +\beta +\mathrm{\angle }ADM+\mathrm{\angle }BDM={180}^{\circ }$

$\alpha +\beta +({180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A)+({180}^{\circ }-\mathrm{\angle }B)={180}^{\circ }$

$\alpha +\beta +{180}^{\circ }-\alpha +{180}^{\circ }-\beta ={180}^{\circ }$

$\alpha +\beta -\alpha -\beta =0$

Отсюда следует, что угол CMD равен 0 градусов. Это означает, что точки C, M и D лежат на одной прямой. Следовательно, отрезок CM имеет длину 0.

Таким образом, мы приходим к заключению, что длина CM в данном треугольнике ABC равна 0.