Какова длина CH в треугольнике ABC, если угол в вершине C равен 90°, высота из вершины C равна 28, cos(A) равно 1/4?

Чтобы найти длину стороны CH в треугольнике ABC, нам понадобятся некоторые математические формулы и определения. Давайте начнем с того, что заданный угол в вершине C равен 90°, что означает, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Мы знаем, что высота из вершины C равна 28, что означает, что высота является перпендикулярной к основанию AB, и она делит треугольник на два прямоугольных треугольника, CHA и CHB.

Теперь, чтобы найти длину CH, нам нужно найти длину основания AB. Давайте вспомним про определение косинуса угла:

\[\cos(A) = \frac{{\text{{прилегающая сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

В нашем случае, у нас есть cos(A) = 1/4 и мы хотим найти гипотенузу треугольника ABC, то есть сторону AB.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ACB гипотенуза равна AB, поэтому мы можем переписать косинус следующим образом:

1/4 = AC / AB

Теперь нам нужно найти длину AC, чтобы решить уравнение выше. Мы знаем, что высота из вершины C равна 28, а это означает, что сторона CH в прямоугольном треугольнике CHA также равна 28.

Используя теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется следующее равенство:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Мы можем записать уравнение для прямоугольного треугольника CHA следующим образом:

28^2 + AC^2 = CH^2

Подставляем значение AC = 28 и решаем уравнение относительно CH:

28^2 + AC^2 = CH^2

784 + AC^2 = CH^2

AC^2 = CH^2 - 784

AC = \sqrt{{CH^2 - 784}}

Теперь мы можем использовать это значение AC в уравнении cos(A) = 1/4:

1/4 = AC / AB

AB = AC / (1/4)

AB = AC * 4

AB = 4 * \sqrt{{CH^2 - 784}}

Итак, мы нашли формулу для длины основания AB в зависимости от длины стороны CH. Теперь мы можем подставить это значение в исходное уравнение, чтобы найти длину CH.

Давайте повторим эту формулу еще раз, чтобы унифицировать нашу нотацию:

CH = \sqrt{{AB^2 + 784}}

Подставляем найденную формулу для AB:

CH = \sqrt{{(4 * \sqrt{{CH^2 - 784}})^2 + 784}}

Раскрываем скобки и упрощаем:

CH = \sqrt{{16(CH^2 - 784) + 784}}

CH = \sqrt{{16CH^2 - 12544 + 784}}

CH = \sqrt{{16CH^2 - 11760}}

Теперь у нас есть квадратное уравнение, и мы можем решить его:

16CH^2 - 11760 = CH^2

15CH^2 = 11760

CH^2 = 11760 / 15

CH^2 = 784

CH = \sqrt{784}

CH = 28

Таким образом, длина CH в треугольнике ABC равна 28.