Какова длина бóльшей стороны параллелограмма, если его диагонали равны 10 и 6, а косинус угла между ними равен 1/15?

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Пусть AB и CD будут диагоналями параллелограмма. Нам известно, что длина диагонали AB равна 10, а длина диагонали CD равна 6. Также известно, что косинус угла между диагоналями равен 1/15.

Для начала, давайте введем обозначения для сторон параллелограмма. Пусть a будет длиной одной из сторон, а b - длиной другой стороны. Таким образом, нам нужно найти максимально возможное значение для b.

Используя закон косинусов, мы можем записать следующее:

\[ a^2 = 10^2 + b^2 - 2 \cdot 10 \cdot b \cdot \cos(\theta) \]

где \(\theta\) - это угол между диагоналями, а \(\cos(\theta)\) равно 1/15.

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение:

\[ a^2 = 100 + b^2 - \frac{20b}{15} \]

\[ a^2 = 100 + b^2 - \frac{4b}{3} \]

Теперь найдем значение a^2 в терминах b. Для этого воспользуемся правилом параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин сторон:

\[ a^2 + b^2 = 10^2 + 6^2 \]

\[ a^2 + b^2 = 100 + 36 \]

\[ a^2 + b^2 = 136 \]

Теперь мы можем выразить a^2 в терминах b, подставив это в уравнение:

\[ 136 = 100 + b^2 - \frac{4b}{3} + b^2 \]

Упрощая уравнение, получаем:

\[ 2b^2 - \frac{4b}{3} - 36 = 0 \]

Теперь давайте решим это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. Найдем корни и выберем положительный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной:

\[ b = \frac{\frac{4}{3} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36)}}{2 \cdot 2} \]

\[ b = \frac{\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} + 288}}{4} \]

\[ b = \frac{\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{2592}{9}}}{4} \]

\[ b = \frac{\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{2608}{9}}}{4} \]

\[ b = \frac{\frac{4}{3} \pm \frac{16\sqrt{13}}{3}}{4} \]

Теперь мы можем выбрать только положительные значения b, так как мы ищем длину большей стороны параллелограмма:

\[ b = \frac{\frac{4}{3} + \frac{16\sqrt{13}}{3}}{4} \]

\[ b = \frac{1 + 4\sqrt{13}}{3} \]

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что длина большей стороны параллелограмма равна \(\frac{1 + 4\sqrt{13}}{3}\).