Какова длина большего отрезка на прямой MNP, если MP равен 12,8 см, и отрезок MN короче отрезка NP в 1,5 раза?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся пошагово. Первое, что нужно сделать, это представить отрезок MN как \(x\), чтобы мы смогли легко работать с его длиной. Затем, учитывая условие задачи, продлим отрезок MN на 1,5 раза и получим отрезок NP. Таким образом, длина NP будет составлять \(1.5x\). Мы также знаем, что длина отрезка MP составляет 12,8 см.

Теперь, чтобы найти длину большего отрезка MNP, нам нужно сложить длины отрезков MP и NP. Запишем это в виде уравнения:

\[MP + NP = 12.8 + 1.5x.\]

Помните, что мы представили длину отрезка MN как \(x\), поэтому мы использовали \(1.5x\) для длины отрезка NP.

После того, как мы записали уравнение, нам нужно найти \(x\), чтобы получить длину отрезка MN. Для этого нам понадобится записать еще одно уравнение на основе условия, что отрезок MN короче отрезка NP в 1,5 раза. Запишем это в виде уравнения:

\[x = \frac{1}{1.5} NP.\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[MP + NP = 12.8 + 1.5x,\]
\[x = \frac{1}{1.5} NP.\]

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив второе уравнение в первое и решив получившееся уравнение для \(NP\):

\[MP + \frac{1}{1.5} NP = 12.8 + 1.5 \left(\frac{1}{1.5} NP \right).\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[MP + \frac{2}{3} NP = 12.8 + NP.\]

Перенесем все переменные с \(NP\) на одну сторону уравнения:

\[MP - 12.8 = NP - \frac{2}{3} NP.\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[MP - 12.8 = \frac{1}{3} NP.\]

Теперь найдем \(NP\), умножив обе стороны уравнения на 3:

\[3(MP - 12.8) = NP.\]

Теперь, когда у нас есть значение \(NP\), мы можем вернуться к первому уравнению и подставить его вместо \(NP\), чтобы найти значение \(MP + NP\), что равно длине большего отрезка MNP.

\[MP + NP = 12.8 + 1.5x.\]

Подставим \(NP = 3(MP - 12.8)\) в это уравнение:

\[MP + 3(MP - 12.8) = 12.8 + 1.5x.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[MP + 3MP - 38.4 = 12.8 + 1.5x.\]

Собрав все переменные в одну часть и все числа в другую, получаем:

\[4MP - 38.4 = 1.5x - 12.8.\]

Поместим все, что содержит \(x\), на одну сторону уравнения и все числа на другую:

\[4MP = 1.5x - 12.8 + 38.4.\]

Упростим:

\[4MP = 1.5x + 25.6.\]

Теперь, чтобы получить значение \(MP + NP\), мы можем подставить \(x\), которое мы нашли ранее, и решить это уравнение:

\[MP + NP = 12.8 + 1.5x.\]

Подставим \(x = \frac{1}{1.5} NP\):

\[MP + NP = 12.8 + 1.5 \left(\frac{1}{1.5} NP \right).\]

Упростим:

\[MP + NP = 12.8 + NP.\]

Перенесем все переменные с \(NP\) на одну сторону уравнения:

\[MP = 12.8.\]

Таким образом, мы получили \(MP = 12.8\) см.

Теперь, когда у нас есть значение \(MP\), мы можем вернуться к уравнению \(4MP = 1.5x + 25.6\) и подставить \(MP = 12.8\):

\[4(12.8) = 1.5x + 25.6.\]

Упростим это уравнение:

\[51.2 = 1.5x + 25.6.\]

Теперь вычтем 25.6 из обеих сторон уравнения:

\[25.6 = 1.5x.\]

Чтобы найти \(x\), разделим обе стороны на 1.5:

\[x = \frac{25.6}{1.5}.\]

Вычисляем:

\[x = 17.\]

Таким образом, получается, что длина отрезка MN равна 17 см.

Чтобы найти длину большего отрезка MNP, мы можем подставить найденные значения \(x\) и \(MP\) в уравнение \(MP + NP = 12.8 + 1.5x\):

\[12.8 + NP = 12.8 + 1.5 \cdot 17.\]

Упростим:

\[NP = 12.8 + 25.5.\]

Складываем числа:

\[NP = 38.3.\]

Таким образом, длина большего отрезка MNP составляет 38.3 см.