Какова длина боковой стороны равнобедренной трапеции, которая описана около круга радиуса 6 см, если основания трапеции

Давайте решим эту задачу по шагам!

1. Определим известные величины:
- Радиус круга \( r = 6 \) см.
- Отношение оснований равнобедренной трапеции \( \frac{AB}{CD} = \frac{9}{4} \).

2. Построим равнобедренную трапецию, описанную вокруг круга. Заметим, что основания трапеции \( AB \) и \( CD \) являются хордами круга, а боковая сторона трапеции \( AD \) является радиусом круга. Также сторона трапеции \( BC \) параллельна основаниям.

3. Используем свойство хорд, описанное в треугольниках, основанное на теореме о хордах площади:
- Пусть \( x \) - длина хорды \( AB \).
- Пусть \( y \) - длина хорды \( CD \).

Тогда площади треугольников, образованных хордами, равны:
- Площадь треугольника \( \triangle AOB \): \( \frac{1}{2} \cdot x \cdot r \).
- Площадь треугольника \( \triangle COD \): \( \frac{1}{2} \cdot y \cdot r \).

По условию задачи:
- Отношение оснований трапеции: \( \frac{AB}{CD} = \frac{x}{y} = \frac{9}{4} \).

4. Рассмотрим площади обоих треугольников:
- \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \) имеют равную площадь, так как они образованы хордами равной длины.
- Запишем это равенство: \( \frac{1}{2} \cdot x \cdot r = \frac{1}{2} \cdot y \cdot r \).
- Упростим: \( x = y \).

5. Воспользуемся отношением оснований трапеции:
- Подставим \( y \) вместо \( x \): \( \frac{y}{y} = \frac{9}{4} \).
- Упростим: \( 1 = \frac{9}{4} \).
- Получим: \( y = \frac{4}{9} \).

6. Найдем длину боковой стороны трапеции \( AD \):
- По условию, сторона \( AD \) является радиусом круга.
- Итак, длина стороны \( AD \) равна радиусу круга \( r = 6 \) см.

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренной трапеции, описанной около круга радиуса 6 см и с отношением оснований \(\frac{9}{4}\), равна 6 см.