Какие значения коэффициента c делают прямую вида x+y+c=0 касающейся окружности с уравнением x2+y2=98? Запишите значения

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть уравнение прямой \(x + y + c = 0\) и уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 98\). Чтобы прямая касалась окружности, они должны иметь одну и только одну общую точку касания.

Первым шагом нам нужно найти координаты точки касания между прямой и окружностью. Для этого мы решаем систему уравнений прямой и окружности.

Подставляя уравнение прямой в уравнение окружности, получаем:
\((x + y + c)^2 + y^2 = 98\).

Раскроем квадрат и приведем подобные слагаемые:
\(x^2 + y^2 + 2xy + 2cx + 2cy + c^2 + y^2 = 98\).

Объединим слагаемые и упростим уравнение:
\(x^2 + 2xy + 2cx + 2cy + 2y^2 + c^2 = 98\).

Теперь разберем это уравнение на части. Уравнение окружности представляет собой \(x^2 + y^2 = 98\), поэтому коэффициенты \(x^2\) и \(y^2\) в нашем уравнении должны быть равны 1.

Таким образом, у нас получается система уравнений:
\[\begin{cases} 2xy + 2cx + 2cy = 0 \\ x^2 + 2y^2 + c^2 = 98 \end{cases}\]

Решим первое уравнение относительно y:
\(y = -x - c\).

Подставим это выражение во второе уравнение:
\(x^2 + 2(-x - c)^2 + c^2 = 98\).

Упростим это уравнение:
\(x^2 + 2(x^2 + 2xc + c^2) + c^2 = 98\).

Раскроем скобки и упростим:
\(x^2 + 2x^2 + 4xc + 2c^2 + c^2 = 98\).

Соберем все члены с \(x\) вместе и все члены с \(c\) вместе:
\(3x^2 + 4xc + 3c^2 - 98 = 0\).

Это уравнение квадратного трехчлена относительно переменной \(x\). Чтобы прямая касалась окружности, у нас должно быть одно решение для этого уравнения. Если у нас было бы два решения, то прямая бы пересекла окружность в двух точках.

Таким образом, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:
\(D = (4c)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (3c^2 - 98) = 0\).

Раскроем скобки:
\(16c^2 - 36c^2 + 432 = 0\).

Соберем все члены вместе:
\(-20c^2 + 432 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(c\):
\(-20c^2 = -432\).

Разделим обе части на -20:
\(c^2 = \frac{432}{20} = 21.6\).

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(c = \pm \sqrt{21.6}\).

У нас есть два возможных значения для \(c\): \(\sqrt{21.6}\) и \(-\sqrt{21.6}\).

Упорядочим их по возрастанию и запишем через точку с запятой:
\(-\sqrt{21.6}; \sqrt{21.6}\).

Итак, значения коэффициента \(c\), делающие прямую \(x + y + c = 0\) касающейся окружности \(x^2 + y^2 = 98\), равны \(-\sqrt{21.6}\) и \(\sqrt{21.6}\).