Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника, если его площадь составляет 196 корней из 3 и угол напротив

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади равнобедренного треугольника и связать ее с длиной боковой стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника можно выразить следующей формулой:

\[S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2 - b^2)^2}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина основания треугольника (боковая сторона), \(b\) - длина высоты треугольника.

В данной задаче, дана площадь треугольника:

\[S = 196 \sqrt{3}\]

Угол напротив основания треугольника равен 120 градусов. Для такого угла, высота треугольника будет равна половине длины базы, так как угол при вершине треугольника будет равен 60 градусам.

То есть, длина высоты будет:

\[b = \frac{1}{2}a\]

Мы знаем, что площадь треугольника можно выразить через длину основания и длину высоты. Подставим эти значения в формулу площади и решим уравнение относительно \(a\):

\[196 \sqrt{3} = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2 - (\frac{1}{2}a)^2)^2}\]

Раскроем скобки:

\[196 \sqrt{3} = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2 - \frac{1}{4}a^2)^2}\]

\[196 \sqrt{3} = \frac{1}{4} \sqrt{(\frac{3}{4}a^2)^2}\]

Упростим выражение:

\[196 \sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}a^2\]

\[196 \sqrt{3} = \frac{3}{16}a^2\]

Чтобы найти длину боковой стороны \(a\), возведем обе части уравнения в квадрат и избавимся от квадратного корня:

\[(196 \sqrt{3})^2 = (\frac{3}{16}a^2)^2\]

\[196^2 \cdot 3 = (\frac{3}{16})^2 \cdot a^4\]

Рассчитаем значения:

\[38416 \cdot 3 = (\frac{9}{256})a^4\]

\[115248 = \frac{9}{256}a^4\]

Для нахождения длины боковой стороны \(a\), избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 256:

\[115248 \cdot 256 = 9a^4\]

\[29578752 = 9a^4\]

Теперь, чтобы найти значение \(a\), избавимся от степени 4, извлекая корень четвертой степени из обеих частей:

\[\sqrt[4]{29578752} = \sqrt[4]{9a^4}\]

Чтобы извлечь корень четвертой степени, используем свойство корня, при котором извлечение корня четвертой степени эквивалентно возведению в квадрат и извлечению корня второй степени:

\[\sqrt[4]{29578752} = \sqrt{\sqrt{29578752}}\]

Теперь вычислим значение:

\[\sqrt[4]{29578752} \approx 44.25\]

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет около 44.25 единицы длины.