Какова длина биссектрисы прямоугольного треугольника ABC, если известны значения сторон а, b

Для решения этой задачи нам понадобятся знания из геометрии и теоремы Пифагора.

Для начала, давайте вспомним, что такое биссектриса треугольника. Биссектриса - это линия, которая делит угол на две равные части, а также делит противоположную сторону на две части, пропорциональные смежными сторонами треугольника.

Теперь перейдем к решению задачи.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где стороны a и b являются катетами, а гипотенуза неизвестна. Пусть гипотенуза треугольника ABC равна c.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Далее нам нужно найти длину биссектрисы треугольника. Пусть биссектриса треугольника ABC делит сторону c на две части, длину одной из которых обозначим \(x\), а другой - \(y\). Тогда справедливо следующее равенство:

\(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\).

Так как биссектриса делит сторону c на две равные части, то \(x + y = \frac{c}{2}\).

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод подстановки. Рассмотрим уравнение \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\):

Раскроем дробь, умножив обе части на \(by\):
\(bx = ay\).

Теперь заменим \(y\) в уравнении \(x + y = \frac{c}{2}\) на значение, найденное из первого уравнения:

\(x + \frac{bx}{a} = \frac{c}{2}\).

Далее объединим подобные члены и приведем уравнение к виду:

\(\frac{ax + bx}{a} = \frac{c}{2}.\)

Сократим \(a\) в числителе дроби:

\(x + \frac{bx}{a} = \frac{c}{2}.\)

Теперь найдем значение \(x\) из этого уравнения:

\(x(1 + \frac{b}{a}) = \frac{c}{2}.\)

Делим обе части уравнения на \(1 + \frac{b}{a}\):

\(x = \frac{\frac{c}{2}}{1 + \frac{b}{a}}.\)

Таким образом, мы нашли значение \(x\), которое представляет собой длину одной из частей, на которые делится сторона с гипотенузой биссектрисой.

Теперь, чтобы найти длину самой биссектрисы, мы должны сложить длины обеих частей:

\(2x = \frac{c}{1 + \frac{b}{a}}.\)

Итак, для данного прямоугольного треугольника длина биссектрисы равна \(\frac{c}{1 + \frac{b}{a}}\), или в более упрощенном виде:

\[AC = \frac{c}{1 + \frac{b}{a}}.\]