Какова длина апофемы треугольной пирамиды, если высота равна 15 см и все боковые грани с плоскостью основания образуют

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо воспользоваться свойствами треугольной пирамиды. Апофема — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания.

Для начала, давайте обратим внимание на равные двугранные углы, образуемые боковыми гранями пирамиды и плоскостью основания. Так как у нас треугольная пирамида, каждый угол между боковой гранью и плоскостью основания будет равен 30 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник, который образуется между центром основания, вершиной пирамиды и серединой одной из боковых граней. Этот треугольник является равносторонним, так как угол между плоскостью основания и боковой гранью равен 30 градусам.

Обозначим длину апофемы как \(x\). Так как треугольник является равносторонним, каждая сторона равна \(x\).

Также, можно заметить, что в этом треугольнике мы можем провести высоту, которая будет перпендикулярна стороне основания и проходить через его середину. Обозначим высоту как \(h\). Так как высота перпендикулярна стороне основания, она разделит сторону на две равные половины, поэтому каждая половина будет равна \(\frac{x}{2}\).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны катет \(h\) и гипотенуза \(\frac{x}{2}\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение гипотенузы:

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет}^2 + \text{катет}^2\]
\[\left(\frac{x}{2}\right)^2 = h^2 + h^2\]
\[\frac{x^2}{4} = 2h^2\]

Теперь, чтобы найти значение апофемы, нам нужно найти значение высоты \(h\). Мы знаем, что высота равна 15 см, поэтому мы можем подставить это значение в уравнение:

\[\frac{x^2}{4} = 2 \cdot 15^2\]
\[\frac{x^2}{4} = 2 \cdot 225\]
\[\frac{x^2}{4} = 450\]

Чтобы найти значение \(x\), умножим обе стороны уравнения на 4:

\[x^2 = 1800\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \sqrt{1800}\]

Но корень из 1800 не является точным значением. Мы можем упростить его:

\[x = \sqrt{900 \cdot 2}\]
\[x = \sqrt{900} \cdot \sqrt{2}\]

Мы знаем, что \(\sqrt{900} = 30\), поэтому подставим эту информацию:

\[x = 30 \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, длина апофемы треугольной пирамиды составляет \(30\sqrt{2}\) см.