Какова длина AC в сантиметрах для треугольника ABC, где ∠A равен 45°, ∠B равен 30°, и BC равно 1622–√см? (Запишите

Чтобы найти длину стороны AC треугольника ABC, нам нужно использовать треугольниковые свойства и тригонометрию. Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

Шаг 1: Расчет стороны AB
Для начала нам понадобится найти длину стороны AB. Дано, что ∠A равен 45° и ∠B равен 30°. Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти ∠C.
∠C = 180° - ∠A - ∠B
∠C = 180° - 45° - 30°
∠C = 105°

Теперь, когда мы знаем все три угла треугольника ABC, мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны AB. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]
Где a, b и c - это длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

Применяя теорему синусов к нашему треугольнику ABC, мы можем записать:
\[\frac{AB}{\sin(45^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)} = \frac{AC}{\sin(105^\circ)}\]

Так как длина стороны BC равна 1622–√см, мы можем заменить BC на это значение в уравнении. Также мы заменим sin(45°) и sin(30°) соответствующими значениями синусов этих углов (что равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{1}{2}\)).

\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1622-\sqrt{см}}{\frac{1}{2}} = \frac{AC}{\sin(105^\circ)}\]

Шаг 2: Расчет стороны AC
Теперь мы можем решить уравнение относительно AC. Умножим обе части уравнения на sin(105°):
\(AC = \frac{\sin(105^\circ)}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot AB\)

Вычислим sin(105°):
\(\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ)\)
\(\sin(105^\circ) = \sin(75^\circ)\)

Так как \(\sin(75^\circ) = \cos(15^\circ)\), мы можем использовать формулу половинного угла:

\(\cos(15^\circ) = \sqrt{\frac{1 + \cos(30^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}\)

Подставим значения синуса и косинуса в уравнение:
\(AC = \frac{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot AB\)

Шаг 3: Подстановка и вычисление
Теперь мы знаем, что длина стороны AB неизвестна, поэтому мы не можем вычислить точное числовое значение для AC. Мы можем только выразить его через AB.

Таким образом, ответ на задачу будет иметь вид:
\[AC = \frac{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot AB\]

Когда вы найдете значения для стороны AB, вы сможете умножить их на выражение, чтобы получить итоговую длину стороны AC в сантиметрах.