Какова дисперсия случайной величины x, если известен ее закон распределения? Необходимо построить многоугольник

Для того чтобы вычислить дисперсию случайной величины \(x\) при известном законе распределения, нам необходимо знать значения случайной величины и их соответствующие вероятности.

В данной задаче, случайная величина \(x\) принимает значения 0, 1, 2 и 10 с вероятностями соответственно 0,4, 0,2, 0,15 и 0,25.

1. Сначала найдем математическое ожидание, \(E(x)\), случайной величины \(x\). Математическое ожидание вычисляется по формуле:
\[E(x) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i)\]
где \(x_i\) - значения случайной величины, \(P(x_i)\) - вероятность соответствующего значения.

Выполним вычисление:
\[E(x) = 0 \cdot 0,4 + 1 \cdot 0,2 + 2 \cdot 0,15 + 10 \cdot 0,25 = 0 + 0,2 + 0,3 + 2,5 = 3\]

Таким образом, математическое ожидание \(E(x)\) составляет 3.

2. Теперь вычислим дисперсию, \(\text{Var}(x)\), случайной величины \(x\). Дисперсия вычисляется по формуле:
\[\text{Var}(x) = E((x - E(x))^2)\]

Выполним вычисление:
\[\text{Var}(x) = (0 - 3)^2 \cdot 0,4 + (1 - 3)^2 \cdot 0,2 + (2 - 3)^2 \cdot 0,15 + (10 - 3)^2 \cdot 0,25\]
\[\text{Var}(x) = 9 \cdot 0,4 + 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,15 + 49 \cdot 0,25\]
\[\text{Var}(x) = 3,6 + 0,8 + 0,15 + 12,25\]
\[\text{Var}(x) = 16.8\]

Таким образом, дисперсия \(\text{Var}(x)\) составляет 16.8.

3. Теперь построим многоугольник распределения для случайной величины \(x\). Многоугольник распределения показывает значения случайной величины на оси \(x\) и соответствующие им вероятности на оси \(y\).

Построим график:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & P(x) \\
\hline
0 & 0,4 \\
1 & 0,2 \\
2 & 0,15 \\
10 & 0,25 \\
\hline
\end{array}
\]

Этот график показывает значения случайной величины \(x\) на оси \(x\) и соответствующие вероятности на оси \(y\).

В данном случае, многоугольник распределения будет выглядеть следующим образом:

|
0.4| \
| \
0.3| \ \
| \ \
0.2| \ \
| \ \
0.1| \ \
|__________
0 1 2 10

Надеюсь, данное пояснение помогло вам понять, как вычислить дисперсию случайной величины \(x\) при известном законе распределения, а также построить многоугольник распределения для \(x\) на основе предоставленных вероятностей и значений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.