Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика, если его плотность на 1,25 раза меньше плотности материала шариков

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько частей и исследуем каждую из них.

В первой части задачи нам говорят, что плотность диэлектрика на 1,25 раза меньше плотности материала шариков. Плотность обозначается как \( \rho \), и у нас есть соотношение:

\[ \rho_{\text{диэлектрик}} = \frac{4}{5} \rho_{\text{шарики}} \]

Здесь мы используем долю 4/5 (или 0,8), так как 1,25 раза меньше можно перевести в долю, обратную данному коэффициенту.

Теперь давайте перейдем ко второй части задачи. Сказано, что при опускании шариков в жидкий диэлектрик угол отклонения нитей от вертикали остается одним и тем же, как в воздухе. Это означает, что диэлектрик и воздух обладают одинаковой силой притяжения к шарикам.

Теперь мы можем сформулировать обоснование ответа.

Итак, диэлектрик и воздух действуют на шарики с одинаковой силой. Сила притяжения \( F_{\text{притяжения}} \) между предметами можно выразить через гравитационную константу \( G \), массу шарика \( m \), массу диэлектрика \( M \), массу воздуха \( M_{\text{воздуха}} \) и расстояние между шариками и диэлектриком \( r \):

\[ F_{\text{притяжения}} = G \frac{m \cdot M}{r^2} \]

Так как сила притяжения одинакова в диэлектрике и воздухе, мы можем сказать:

\[ G \frac{m \cdot M_{\text{воздуха}}}{r^2} = G \frac{m \cdot M_{\text{диэлектрика}}}{r^2} \]

Теперь введем обозначения. Пусть \( \varepsilon_{\text{диэлектрика}} \) будет диэлектрической проницаемостью диэлектрика, а \( \varepsilon_0 \) - проницаемостью воздуха. Запишем отношение масс диэлектрика и воздуха через их плотности:

\[ M_{\text{диэлектрика}} = \rho_{\text{диэлектрика}} \cdot V_{\text{диэлектрика}} \]
\[ M_{\text{воздуха}} = \rho_{\text{воздуха}} \cdot V_{\text{воздуха}} \]

Здесь \( V_{\text{диэлектрика}} \) и \( V_{\text{воздуха}} \) - объемы диэлектрика и воздуха соответственно. Заметим также, что массы шариков \( m \) в обоих случаях одинаковы.

Теперь мы можем переписать выражение для равенства сил притяжения через плотности и объемы:

\[ G \frac{m \cdot \rho_{\text{воздуха}} \cdot V_{\text{воздуха}}}{r^2} = G \frac{m \cdot \rho_{\text{диэлектрика}} \cdot V_{\text{диэлектрика}}}{r^2} \]

Применим теперь закон Архимеда для подставления выражений для объемов:

\[ G \frac{m \cdot \rho_{\text{воздуха}} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2} = G \frac{m \cdot \rho_{\text{диэлектрика}} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2} \]

Теперь у нас получилось:

\[ \rho_{\text{воздуха}} = \rho_{\text{диэлектрика}} \]

Следовательно, выполняется равенство:

\[ \frac{4}{5} \rho_{\text{шарики}} = \rho_{\text{диэлектрика}} \]

Наконец, мы можем найти диэлектрическую проницаемость \( \varepsilon_{\text{диэлектрика}} \) через плотность диэлектрика \( \rho_{\text{диэлектрика}} \):

\[ \varepsilon_{\text{диэлектрика}} = \frac{\varepsilon_0}{\rho_{\text{диэлектрика}}} \]

Подставляя значение \( \rho_{\text{диэлектрика}} = \frac{4}{5} \rho_{\text{шарики}} \), мы можем получить окончательный ответ.