Какова частота колебаний заряда, если изменение электрического заряда конденсатора в колебательном контуре описывается

Хорошо! Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для частоты колебаний в колебательном контуре. Формула выглядит следующим образом:

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Где \( f \) - частота колебаний в герцах, \( L \) - индуктивность, а \( C \) - ёмкость колебательного контура.

В данной задаче нам даны изменение электрического заряда конденсатора \( q \), описываемое законом \( q = 0,01\cos(\frac{\pi t}{20}) \).

Чтобы найти индуктивность \( L \) и ёмкость \( C \), нам нужно представить закон \( q \) в виде зависимости от времени \( t \) и затем найти соответствующие значения индуктивности и ёмкости.

Производная заряда \( q \) по времени \( t \) будет являться током в контуре, поэтому мы можем использовать \( I = \frac{dq}{dt} \) и \( I = -LC \frac{d^2q}{dt^2} \)

Тогда, подставляя исходное уравнение \( q \), получим:

\[ -LC \frac{d^2q}{dt^2} = 0,01\cos(\frac{\pi t}{20}) \]

Дважды дифференцируя это уравнение и упрощая его, мы можем получить:

\[ \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0 \]

Теперь мы получили дифференциальное уравнение, которое описывает колебания в колебательном контуре. Видим, что это уравнение похоже на уравнение гармонического осциллятора с решением \( q = A\cos(\omega t + \phi) \), где \( A \) - амплитуда, \( \omega \) - угловая частота, а \( \phi \) - начальная фаза.

Возвращаясь к предыдущему уравнению, мы видим, что \( \frac{1}{LC} \) играет роль квадрата угловой частоты \( \omega \) (т.е. \( \omega^2 \)). Следовательно, мы можем записать его как:

\[ \omega^2 = \frac{1}{LC} \]

Теперь мы можем выразить \( \omega \) через частоту \( f \), т.к. \( \omega = 2\pi f \). Подставляя это уравнение в предыдущую формулу, получим:

\[ (2\pi f)^2 = \frac{1}{LC} \]

Теперь мы можем выразить частоту \( f \):

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Таким образом, мы получили формулу для частоты колебаний в колебательном контуре в зависимости от индуктивности \( L \) и ёмкости \( C \).

Теперь нам нужно найти значения \( L \) и \( C \). Мы можем сделать это, используя исходное уравнение для изменения заряда \( q \), \( q = 0.01\cos(\frac{\pi t}{20}) \).

Сравнивая исходное уравнение с уравнением амплитуды колебаний \( q = A\cos(\omega t + \phi) \), мы можем увидеть, что \( A = 0.01 \), \( \omega = \frac{\pi}{20} \), а фазу \( \phi \) мы игнорируем.

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти частоту колебаний \( f \):

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

\[ \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot(0.01)}} = \frac{1}{\sqrt{L\cdot(0.01)}} \]

\[ \sqrt{L\cdot(0.01)} = 20 \]

\[ L\cdot(0.01) = 400 \]

\[ L = 40000 \]

Таким образом, значение индуктивности составляет \( L = 40000 \) Гн.

Теперь мы можем использовать значение индуктивности \( L \) и изначальное уравнение \( q = 0.01\cos(\frac{\pi t}{20}) \), чтобы найти значение ёмкости \( C \):

\[ q = 0.01 = A = \frac{q_{\text{макс}}}{2} = \frac{Q}{2} = \frac{C\cdot U_{\text{макс}}}{2} \]

\[ C\cdot U_{\text{макс}} = 2000 \]

\[ C = \frac{2000}{U_{\text{макс}}} \]

Так как нам не дано значение напряжения \( U_{\text{макс}} \), мы не можем найти точное значение ёмкости \( C \). Однако, мы можем дать ответ в виде уравнения с оставшимся параметром \( U_{\text{макс}} \):

\[ C = \frac{2000}{U_{\text{макс}}} \]

Таким образом, частота колебаний заряда в данном колебательном контуре определяется формулой \( f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \), где значение индуктивности \( L = 40000 \) Гн и значение ёмкости \( C = \frac{2000}{U_{\text{макс}}} \).