Какова будет скорость ракеты на орбите, если она была запущена с земли со скоростью 10 км/с и находится на круговой

Для решения данной задачи нам понадобится использовать законы сохранения энергии и законы движения тела по орбите.

Первым шагом давайте определим значение гравитационной постоянной \(G\). Величина \(G\) равна примерно \(6.67 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\).

Зная скорость запуска ракеты с поверхности Земли \(v_0 = 10\, \text{км/с}\), рассмотрим момент, когда ракета находится на орбите.

1. Запишем уравнение сохранения механической энергии:
\[\frac{1}{2} m v^2 - \frac{G m M}{r} = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G m M}{R}\],
где \(m\) - масса ракеты, \(M\) - масса Земли, \(r\) - радиус орбиты ракеты, а \(R\) - радиус Земли.

2. Заметим, что на орбите скорость ракеты \(v\) постоянна. При круговом движении по орбите на космическом корабле действует сила гравитации, направленная к центру Земли. Эта сила равна центробежной силе:
\[\frac{G m M}{r^2} = \frac{m v^2}{r}\].

3. Теперь мы можем использовать закон всемирного тяготения, чтобы выразить массу Земли:
\[M = \frac{G M m}{v^2} = \frac{G m}{v^2}\].

4. Подставляя это выражение для массы Земли в уравнение сохранения механической энергии и делая некоторые упрощения, получаем:
\[\frac{1}{2} v^2 - \frac{G M}{r} = \frac{1}{2} v_0^2 - \frac{2 G M}{R}\].

Отсюда можно найти скорость ракеты на орбите \(v\):
\[v = \sqrt{\frac{G M}{r} + \left(\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{2 G M}{R}\right)}\].

Подставляя значения \(G = 6.67 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\), \(M = \frac{G m}{v_0^2}\), \(r = 2 R\) и \(R\) радиуса Земли, получаем:
\[v = \sqrt{\frac{G \left(\frac{G m}{v_0^2}\right)}{2R} + \left(\frac{1}{2} v_0^2 - \frac{2 G \left(\frac{G m}{v_0^2}\right)}{R}\right)}.\]

Дальше выполняем несложные вычисления и получаем ответ. Теперь вы можете посчитать скорость ракеты на орбите, substituting appropriate values for \(G\), \(m\), \(v_0\), and \(R\).