Каков заряд конденсатора в данный момент времени в идеальном колебательном контуре, где сила тока меняется со временем

Хорошо, давайте разберем задачу шаг за шагом.

В данной задаче мы имеем дело с идеальным колебательным контуром, где сила тока меняется со временем, как показано на рисунке. Чтобы найти заряд на конденсаторе в данное время, нам понадобятся некоторые основные концепции из физики.

1. Сила тока (\(I\)) в идеальном колебательном контуре связана с зарядом на конденсаторе (\(Q\)) и емкостью конденсатора (\(C\)) следующим образом: \(I = \frac{{dQ}}{{dt}}\), где \(\frac{{dQ}}{{dt}}\) обозначает производную \(Q\) по времени.

2. Решим дифференциальное уравнение для заряда на конденсаторе. По определению, производная заряда по времени равна разности напряжений на конденсаторе (\(V\)) и резисторе (\(R\)), деленной на сопротивление (\(R\)): \(\frac{{dQ}}{{dt}} = \frac{{V}}{{R}}\)

3. Сопротивление резистора (\(R\)) влияет на скорость заряда конденсатора. Чем больше сопротивление, тем медленнее заряжается конденсатор.

4. Подставив уравнение для производной заряда (\(\frac{{dQ}}{{dt}} = \frac{{V}}{{R}}\)) в уравнение для силы тока (\(I = \frac{{dQ}}{{dt}}\)), получаем: \(I = \frac{{V}}{{R}}\)

5. Так как сила тока меняется со временем, то и напряжение на конденсаторе также будет меняться со временем. Из рисунка можно заметить, что напряжение меняется синусоидально. Давайте обозначим амплитуду напряжения как \(A\), частоту как \(\omega\) и фазу как \(\phi\).

6. Используя формулу для напряжения на конденсаторе в колебательном контуре, которая записывается как \(V = A \cdot \sin(\omega t + \phi)\), мы можем найти силу тока \(I\).

7. Подставим полученное выражение для напряжения в уравнение \(I = \frac{{V}}{{R}}\): \(I = \frac{{A \cdot \sin(\omega t + \phi)}}{{R}}\)

8. Заряд на конденсаторе равен интегралу от силы тока по времени: \(Q = \int I \, dt = \int \frac{{A \cdot \sin(\omega t + \phi)}}{{R}} \, dt\)

9. Выполним интегрирование: \(Q = -\frac{{A \cdot \cos(\omega t + \phi)}}{{\omega R}}\) (плюс константа интегрирования)

10. Наше окончательное выражение для заряда на конденсаторе (\(Q\)) в идеальном колебательном контуре будет выглядеть так: \(Q = -\frac{{A \cdot \cos(\omega t + \phi)}}{{\omega R}} + C\), где \(C\) - константа интегрирования.

Таким образом, чтобы найти заряд конденсатора в данный момент времени, необходимо подставить значения амплитуды напряжения (\(A\)), частоты (\(\omega\)), фазы (\(\phi\)), сопротивления (\(R\)) и константы интегрирования (\(C\)) в последнее выражение \(Q = -\frac{{A \cdot \cos(\omega t + \phi)}}{{\omega R}} + C\).