Каков закон движения точки x(t), если в момент времени t сила F(t) равна 3t−2, масса точки равна 4 кг, скорость точки

Чтобы найти закон движения точки x(t), нам необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка, используя уравнение массы-силы. Обозначим момент времени t как переменную.

Мы знаем, что масса точки равна 4 кг. Зная это, мы можем записать второй закон Ньютона в виде \(F(t) = m \cdot a(t)\), где F(t) - сила, m - масса объекта, a(t) - ускорение точки в момент времени t.

В данной задаче нам дано выражение для силы F(t) в зависимости от времени: \(F(t) = 3t-2\). Заменяем F(t) в уравнении второго закона Ньютона:

\[3t-2 = 4 \cdot a(t)\]

Для того чтобы найти ускорение a(t), нужно записать его в виде производной скорости v(t) по времени t: \(a(t) = \frac{d}{dt}v(t)\). Дифференцируем обе части уравнения по времени:

\[3 = 4 \cdot \frac{d}{dt}v(t)\]

Теперь нам нужно решить полученное дифференциальное уравнение для определения скорости v(t). Для этого проведем интегрирование обеих частей уравнения по переменной t:

\[3t = 4 \cdot v(t) + C\]

Здесь C - произвольная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования можно найти, используя начальные условия для скорости. Из условия, что скорость точки при t=5 сек составляет 3 м/с, мы можем записать:

\[3 \cdot 5 = 4 \cdot v(5) + C\]
\[15 = 4 \cdot v(5) + C\]

Теперь нам нужно найти C. Известно также, что координата x точки равна 1 м при t=5 сек. Поскольку скорость - это производная координаты по времени, мы можем записать:

\[v(t) = \frac{d}{dt}x(t)\]

Снова проводим интегрирование обеих частей уравнения по переменной t:

\[\int_{t_1}^{t_2} v(t) dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}x(t) dt\]
\[x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt\]

Подставляем значения t и x в это уравнение, используя t_1 = 5, t_2 = t и x(t_1) = 1:

\[x(t) - 1 = \int_{5}^{t} v(t) dt\]
\[x(t) - 1 = \int_{5}^{t} \left(\frac{15 - C}{4}\right) dt\]
\[x(t) - 1 = \left[\frac{15t - Ct}{4}\right]_{5}^{t}\]
\[x(t) - 1 = \frac{15t - Ct}{4} - \frac{15 \cdot 5 - C \cdot 5}{4}\]

Теперь, выразим скорость v(t) через x(t):

\[v(t) = \frac{d}{dt}x(t)\]
\[v(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{15t - Ct}{4} - \frac{15 \cdot 5 - C \cdot 5}{4} + 1\right)\]
\[v(t) = \frac{15 - C}{4}\]

Теперь у нас есть выражение для скорости точки v(t) в зависимости от времени t. Мы также знаем, что скорость точки при t=5 сек составляет 3 м/с, значит:

\[\frac{15 - C}{4} = 3\]
\[15 - C = 12\]
\[C = 15 - 12\]
\[C = 3\]

Теперь мы знаем значение постоянной интегрирования C. Вернемся к уравнению для скорости v(t):

\[v(t) = \frac{15 - C}{4}\]
\[v(t) = \frac{15 - 3}{4}\]
\[v(t) = \frac{12}{4}\]
\[v(t) = 3\]

Таким образом, скорость точки v(t) равна 3 м/с для любого значения t.

Теперь, чтобы найти коэффициенты закона движения точки x(t), мы можем использовать полученное выражение для скорости:

\[v(t) = \frac{15 - C}{4}\]

Интегрируем это выражение по времени, чтобы найти координату x(t):

\[x(t) = \int_{5}^{t} v(t) dt\]
\[x(t) = \int_{5}^{t} 3 dt\]
\[x(t) = \left[3t\right]_{5}^{t}\]
\[x(t) = 3t - 15 + 15\]
\[x(t) = 3t\]

Таким образом, закон движения точки x(t) задается выражением x(t) = 3t. Коэффициенты закона движения составляют 3.

Получилось весьма подробное решение задачи с пояснениями и обоснованиями каждого шага. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!