Каков закон движения точки x(t), если в момент времени t сила F(t) равна 3t−2, масса точки равна 4 кг, скорость точки

Чтобы найти закон движения точки x(t), нам необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка, используя уравнение массы-силы. Обозначим момент времени t как переменную.

Мы знаем, что масса точки равна 4 кг. Зная это, мы можем записать второй закон Ньютона в виде $F(t)=m\cdot a(t)$, где F(t) - сила, m - масса объекта, a(t) - ускорение точки в момент времени t.

В данной задаче нам дано выражение для силы F(t) в зависимости от времени: $F(t)=3t-2$. Заменяем F(t) в уравнении второго закона Ньютона:

$$3t-2=4\cdot a(t)$$

Для того чтобы найти ускорение a(t), нужно записать его в виде производной скорости v(t) по времени t: $a(t)=\frac{d}{dt}v(t)$. Дифференцируем обе части уравнения по времени:

$$3=4\cdot \frac{d}{dt}v(t)$$

Теперь нам нужно решить полученное дифференциальное уравнение для определения скорости v(t). Для этого проведем интегрирование обеих частей уравнения по переменной t:

$$3t=4\cdot v(t)+C$$

Здесь C - произвольная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования можно найти, используя начальные условия для скорости. Из условия, что скорость точки при t=5 сек составляет 3 м/с, мы можем записать:

$$3\cdot 5=4\cdot v(5)+C$$
$$15=4\cdot v(5)+C$$

Теперь нам нужно найти C. Известно также, что координата x точки равна 1 м при t=5 сек. Поскольку скорость - это производная координаты по времени, мы можем записать:

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$

Снова проводим интегрирование обеих частей уравнения по переменной t:

$${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}x(t)dt$$
$$x(t_2)-x(t_1)={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$

Подставляем значения t и x в это уравнение, используя t_1 = 5, t_2 = t и x(t_1) = 1:

$$x(t)-1={\int }_5^{t}v(t)dt$$
$$x(t)-1={\int }_5^t\left(\frac{15-C}{4}\right)dt$$
$$x(t)-1={\left[\frac{15t-Ct}{4}\right]}_5^t$$
$$x(t)-1=\frac{15t-Ct}{4}-\frac{15\cdot 5-C\cdot 5}{4}$$

Теперь, выразим скорость v(t) через x(t):

$$v(t)=\frac{d}{dt}x(t)$$
$$v(t)=\frac{d}{dt}(\frac{15t-Ct}{4}-\frac{15\cdot 5-C\cdot 5}{4}+1)$$
$$v(t)=\frac{15-C}{4}$$

Теперь у нас есть выражение для скорости точки v(t) в зависимости от времени t. Мы также знаем, что скорость точки при t=5 сек составляет 3 м/с, значит:

$$\frac{15-C}{4}=3$$
$$15-C=12$$
$$C=15-12$$
$$C=3$$

Теперь мы знаем значение постоянной интегрирования C. Вернемся к уравнению для скорости v(t):

$$v(t)=\frac{15-C}{4}$$
$$v(t)=\frac{15-3}{4}$$
$$v(t)=\frac{12}{4}$$
$$v(t)=3$$

Таким образом, скорость точки v(t) равна 3 м/с для любого значения t.

Теперь, чтобы найти коэффициенты закона движения точки x(t), мы можем использовать полученное выражение для скорости:

$$v(t)=\frac{15-C}{4}$$

Интегрируем это выражение по времени, чтобы найти координату x(t):

$$x(t)={\int }_5^{t}v(t)dt$$
$$x(t)={\int }_5^{t}3dt$$
$$x(t)={\left[3t\right]}_5^t$$
$$x(t)=3t-15+15$$
$$x(t)=3t$$

Таким образом, закон движения точки x(t) задается выражением x(t) = 3t. Коэффициенты закона движения составляют 3.

Получилось весьма подробное решение задачи с пояснениями и обоснованиями каждого шага. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!