Каков закон движения точки x(t), если материальная точка массой 4 кг движется по оси Ox под действием силы

Чтобы определить закон движения точки \(x(t)\), сначала необходимо найти ускорение точки \(a(t)\), а затем проинтегрировать его дважды. Для этого проведем все необходимые расчеты.

1. Найдем ускорение точки \(a(t)\) с использованием второго закона Ньютона:
\[F(t) = m \cdot a(t),\]
где
\(F(t)\) - сила, равная \(3t -2\),
\(m\) - масса материальной точки, равная 4 кг.

Подставим известные значения и решим уравнение:
\[3t - 2 = 4 \cdot a(t).\]
Разделим обе части уравнения на 4:
\[a(t) = \frac{{3t - 2}}{4}.\]

2. Теперь найдем скорость точки, интегрируя ускорение:
\[v(t) = \int a(t) \, dt.\]
Выполним интегрирование:
\[v(t) = \int \frac{{3t - 2}}{4} \, dt.\]
Проинтегрируем каждый член отдельно:
\[v(t) = \frac{3}{4} \int t \, dt - \frac{2}{4} \int 1 \, dt.\]
Проведем интегрирование:
\[v(t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^2}{2} - \frac{2}{4} \cdot t + C_1.\]
Упростим выражение:
\[v(t) = \frac{3}{8} \cdot t^2 - \frac{1}{2} \cdot t + C_1.\]

3. Теперь найдем коэффициент \(C_1\) с использованием известной информации о скорости точки.
Когда \(t = 4\) с, \(v(t) = 3\) м/с:
\[3 = \frac{3}{8} \cdot 4^2 - \frac{1}{2} \cdot 4 + C_1.\]
Решим это уравнение:
\[3 = \frac{3}{8} \cdot 16 - 2 + C_1.\]
\[3 = \frac{3}{8} \cdot 16 - \frac{16}{8} + C_1.\]
\[3 = \frac{24}{8} - \frac{16}{8} + C_1.\]
\[3 = \frac{8}{8} + C_1.\]
\[3 = 1 + C_1.\]
\[C_1 = 3 -1.\]
\[C_1 = 2.\]

Таким образом, получаем уравнение для скорости точки:
\[v(t) = \frac{3}{8} \cdot t^2 - \frac{1}{2} \cdot t + 2.\]

4. Найдем координату точки, интегрируя скорость:
\[x(t) = \int v(t) \, dt.\]
Выполним интегрирование:
\[x(t) = \int \left(\frac{3}{8} \cdot t^2 - \frac{1}{2} \cdot t + 2 \right) \, dt.\]
Проинтегрируем каждый член отдельно:
\[x(t) = \frac{3}{8} \int t^2 \, dt - \frac{1}{2} \int t \, dt + 2 \int 1 \, dt.\]
Проведем интегрирование:
\[x(t) = \frac{3}{8} \cdot \frac{t^3}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + 2 \cdot t + C_2.\]
Упростим выражение:
\[x(t) = \frac{1}{8} \cdot t^3 - \frac{1}{4} \cdot t^2 + 2 \cdot t + C_2.\]

5. Теперь найдем коэффициент \(C_2\) с использованием известной информации о координате точки.
Когда \(t = 4\) с, \(x(t) = 1\):
\[1 = \frac{1}{8} \cdot 4^3 - \frac{1}{4} \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 + C_2.\]
Решим это уравнение:
\[1 = \frac{1}{8} \cdot 64 - \frac{1}{4} \cdot 16 + 8 + C_2.\]
\[1 = \frac{64}{8} - \frac{16}{4} + 8 + C_2.\]
\[1 = 8 - 4 + 8 + C_2.\]
\[1 = 12 + C_2.\]
\[C_2 = 1 - 12.\]
\[C_2 = -11.\]

Таким образом, получаем закон движения точки \(x(t)\):
\[x(t) = \frac{1}{8} \cdot t^3 - \frac{1}{4} \cdot t^2 + 2 \cdot t - 11.\]

В ответе необходимо указать коэффициенты:
\(C_1 = 2\) и \(C_2 = -11\).