Каков закон движения точки x(t), если материальная точка массой 4 кг движется по оси Ox под действием силы

Дек 2, 2023

Каков закон движения точки x(t), если материальная точка массой 4 кг движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль этой оси, и в момент времени t сила равна F(t) = 3t - 2? Известно, что при t = 4с, скорость точки равна 3 м/с, а координата x равна 1. Какие коэффициенты нужно указать в ответе?

Marusya

Чтобы определить закон движения точки

x (t)

, сначала необходимо найти ускорение точки

a (t)

, а затем проинтегрировать его дважды. Для этого проведем все необходимые расчеты.

1. Найдем ускорение точки

a (t)

с использованием второго закона Ньютона:

F (t) = m \cdot a (t),

где

F (t)

- сила, равная

3 t - 2

m

- масса материальной точки, равная 4 кг.

Подставим известные значения и решим уравнение:

3 t - 2 = 4 \cdot a (t) .

Разделим обе части уравнения на 4:

a (t) = \frac{3 t - 2}{4} .

2. Теперь найдем скорость точки, интегрируя ускорение:

v (t) = \int a (t) d t .

Выполним интегрирование:

v (t) = \int \frac{3 t - 2}{4} d t .

Проинтегрируем каждый член отдельно:

v (t) = \frac{3}{4} \int t d t - \frac{2}{4} \int 1 d t .

Проведем интегрирование:

v (t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{2}{4} \cdot t + C_{1} .

Упростим выражение:

v (t) = \frac{3}{8} \cdot t^{2} - \frac{1}{2} \cdot t + C_{1} .

3. Теперь найдем коэффициент

C_{1}

с использованием известной информации о скорости точки.
Когда

t = 4

с,

v (t) = 3

м/с:

3 = \frac{3}{8} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 + C_{1} .

Решим это уравнение:

3 = \frac{3}{8} \cdot 16 - 2 + C_{1} .

3 = \frac{3}{8} \cdot 16 - \frac{16}{8} + C_{1} .

3 = \frac{24}{8} - \frac{16}{8} + C_{1} .

3 = \frac{8}{8} + C_{1} .

3 = 1 + C_{1} .

C_{1} = 3 - 1.

C_{1} = 2.

Таким образом, получаем уравнение для скорости точки:

v (t) = \frac{3}{8} \cdot t^{2} - \frac{1}{2} \cdot t + 2.

4. Найдем координату точки, интегрируя скорость:

x (t) = \int v (t) d t .

Выполним интегрирование:

x (t) = \int (\frac{3}{8} \cdot t^{2} - \frac{1}{2} \cdot t + 2) d t .

Проинтегрируем каждый член отдельно:

x (t) = \frac{3}{8} \int t^{2} d t - \frac{1}{2} \int t d t + 2 \int 1 d t .

Проведем интегрирование:

x (t) = \frac{3}{8} \cdot \frac{t^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot t + C_{2} .

Упростим выражение:

x (t) = \frac{1}{8} \cdot t^{3} - \frac{1}{4} \cdot t^{2} + 2 \cdot t + C_{2} .

5. Теперь найдем коэффициент

C_{2}

с использованием известной информации о координате точки.
Когда

t = 4

с,

x (t) = 1

1 = \frac{1}{8} \cdot 4^{3} - \frac{1}{4} \cdot 4^{2} + 2 \cdot 4 + C_{2} .

Решим это уравнение:

1 = \frac{1}{8} \cdot 64 - \frac{1}{4} \cdot 16 + 8 + C_{2} .

1 = \frac{64}{8} - \frac{16}{4} + 8 + C_{2} .

1 = 8 - 4 + 8 + C_{2} .

1 = 12 + C_{2} .

C_{2} = 1 - 12.

C_{2} = - 11.

Таким образом, получаем закон движения точки

x (t)

x (t) = \frac{1}{8} \cdot t^{3} - \frac{1}{4} \cdot t^{2} + 2 \cdot t - 11.

В ответе необходимо указать коэффициенты:

C_{1} = 2

C_{2} = - 11

Знаешь ответ?

Математика

Какая формула используется для вычисления площади закрашенной фигуры на рисунке 294, если...

Дек 14, 2023

Математика

Какова работа, совершенная для растяжения пружины от 25 до 35 см, если начальная длина пружины...

Дек 14, 2023

Каков закон движения точки x(t), если материальная точка массой 4 кг движется по оси Ox под действием силы

Marusya

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!