Каков закон движения куска антрацита в зависимости от времени, когда он скользит с нулевой начальной скоростью

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся законы Ньютона для движения по наклонной плоскости и уравнения, связанные с трением.

Первым делом, определим силы, действующие на антрацит. Есть две главные силы: сила тяжести \(F_g\) и сила трения \(F_f\). Сила тяжести направлена вниз по вертикальной оси и равна продукту массы антрацита \(m\) на ускорение свободного падения \(g\), т.е. \(F_g = mg\).

Теперь рассмотрим силу трения. Сила трения возникает в результате взаимодействия поверхности антрацита и стали. Сила трения всегда направлена против движения, поэтому в данном случае она направлена вверх по наклонной плоскости. По закону трения Кулона сила трения равна произведению коэффициента трения \(f\) на нормальную силу \(F_n\). Так как антрацит скользит по стальной поверхности, нормальная сила равна компоненте силы тяжести, направленной вдоль наклонной поверхности, и равна \(F_n = mg\cos(\theta)\), где \(\theta\) - угол наклона наклонной плоскости.

Получается, что \(F_f = fmg\cos(\theta)\), где \(f\) - искомый коэффициент трения.

Далее, применим закон Ньютона для движения вдоль наклонной плоскости. Второй закон Ньютона гласит, что сумма всех сил, действующих на тело, равна массе тела, умноженной на его ускорение.

Учитывая это, можем записать уравнение второго закона Ньютона для движения антрацита:

\[mg\sin(\theta) - fmg\cos(\theta) = ma\]

Где \(a\) - ускорение антрацита. Так как мы ищем закон движения антрацита в зависимости от времени, то нам нужно выразить ускорение \(a\) через изменение скорости \(v\) по времени \(t\).

Используя определение ускорения \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\), получим:

\[mg\sin(\theta) - fmg\cos(\theta) = m\frac{{dv}}{{dt}}\]

Теперь перейдем к решению этого уравнения. Сначала выразим \(dv\) через \(dt\) и приведем подобные слагаемые:

\[mg\sin(\theta) - fmg\cos(\theta) = m\frac{{dv}}{{dt}}\]

Разделим уравнение на массу антрацита \(m\) и переупорядочим слагаемые:

\[g\sin(\theta) - f g\cos(\theta) = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Теперь можно разделить переменные, переместив все слагаемые, содержащие \(v\), в одну часть уравнения, а слагаемые с \(t\) - в другую:

\[\frac{{dv}}{{g\sin(\theta) - f g\cos(\theta)}} = dt\]

Проинтегрируем обе части уравнения с обеих сторон:

\[\int{\frac{{dv}}{{g\sin(\theta) - f g\cos(\theta)}}} = \int{dt}\]

Левая сторона интеграла представляет собой арктангенс, а правая сторона представляет собой переменную времени:

\[\text{атан}(\frac{{v}}{{v_0}}) = t + C\]

Где \(v_0\) - начальная скорость антрацита, а \(C\) - постоянная интегрирования.

Для нахождения постоянной интегрирования \(C\) нужно знать начальные условия задачи, в данном случае антрацит скользит с нулевой начальной скоростью, а значит \(v_0 = 0\).

Таким образом, уравнение для закона движения антрацита в зависимости от времени будет иметь вид:

\[\text{атан}(v) = t\]

Теперь, чтобы найти коэффициент трения \(f\), можно воспользоваться уравнением для силы трения \(F_f = fmg\cos(\theta)\) и законом сохранения энергии.

Воспользуемся направлением движения антрацита вдоль наклонной плоскости и предположим, что всю потенциальную энергию антрацита в начальный момент времени потратили на перемещение его вниз по наклонной плоскости и на преодоление трения.

Так как высота наклонной плоскости меняется от \(h\) (в начальный момент времени) до 0 (в конечный момент времени), можно записать уравнение сохранения энергии:

\[mg\cdot{h} = \frac{1}{2}mv^2 + fmg\cos(\theta)\cdot{h}\]

Раскроем скобки и сократим массу \(m\):

\[gh = \frac{1}{2}v^2 + fgh\cos(\theta)\]

Теперь, зная, что закон движения антрацита имеет вид \(\text{атан}(v) = t\), можно записать, что \(v = \text{тан}(t)\). Подставим это выражение в уравнение сохранения энергии:

\[gh = \frac{1}{2}\text{тан}^2(t) + fgh\cos(\theta)\]

Используя данное уравнение, можно выразить коэффициент трения \(f\) и найти его значение для данной задачи.