Каков угол у основания равнобедренного треугольника, противолежащий вершине и равный 45°? Длина боковой стороны

Нам даны следующие данные: угол при основании равнобедренного треугольника равен 45°, а длина боковой стороны равна \(8\sqrt{2}\). Мы должны найти площадь этого треугольника.

Для начала, давайте найдем значение угра, противолежащего вершине при основании равнобедренного треугольника. Так как у нас уже известен один угол, а сумма углов в треугольнике равна 180°, то мы можем найти величину других двух углов, используя свойство треугольника.

Поскольку у нас равнобедренный треугольник, то углы при основании равны, то есть они оба равны \(\frac{{180°-45°}}{2} = 67.5°\).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной и двумя радиусами вписанной окружности. Обозначим длину радиуса окружности как \(r\) и высоту треугольника как \(h\).

По свойству равнобедренного треугольника, мы знаем, что высота треугольника является биссектрисой основания. Так как биссектриса делит основание на две равные части, получаем, что \(r\), \(r\) и \(h\) являются половинами основания.

Тогда нам известно, что \(h = \frac{{8\sqrt{2}}}{2} = 4\sqrt{2}\).

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника, используя формулу: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

Подставляя значения, получаем: \(S = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 16 \cdot 2 = 32\).

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна 32. Ответ: \(32\).