Каков угол поворота диска, когда его вектор полного ускорения образует угол 45° с его радиусом, при условии, что диск

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать некоторые основы физики и тригонометрии. Давайте начнем.

Предоставленное уравнение \(\phi = 2 + 4t^3\) задает угловое положение диска в зависимости от времени \(t\).

Выражение за вектор полного ускорения можно записать как:

\[\vec{a} = R\vec{\alpha}\]

где \(R\) - расстояние от оси вращения (радиус диска), а \(\alpha\) - угловое ускорение.

В данной задаче, известно, что вектор полного ускорения \(\vec{a}\) образует угол 45° с радиусом диска. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Теперь мы можем записать вектор полного ускорения в виде:

\[\vec{a} = a \cos(\theta)\vec{i} + a \sin(\theta)\vec{j}\]

где \(a\) - величина полного ускорения.

Также мы можем переписать \(R\vec{\alpha}\) в виде:

\(R\vec{\alpha} = r \alpha \cos(\phi)\vec{i} + r \alpha \sin(\phi)\vec{j}\)

где \(r\) - расстояние от оси вращения до точки на диске.

Теперь у нас есть два выражения для \(\vec{a}\) и \(R\vec{\alpha}\). Подставим их в уравнение \(R\vec{\alpha} = \vec{a}\):

\[r \alpha \cos(\phi)\vec{i} + r \alpha \sin(\phi)\vec{j} = a \cos(\theta)\vec{i} + a \sin(\theta)\vec{j}\]

Поскольку векторы \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) линейно независимы, мы можем сравнить соответствующие компоненты и получить два уравнения:

\[r \alpha \cos(\phi) = a \cos(\theta)\]
\[r \alpha \sin(\phi) = a \sin(\theta)\]

Разделим оба уравнения друг на друга, чтобы избавиться от неизвестных величин \(a\) и \(\alpha\):

\[\tan(\phi) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta)\]

Теперь найдем угол \(\phi\) при помощи тригонометрической функции арктангенса:

\[\phi = \arctan(\tan(\theta))\]

В нашей задаче \(\theta = 45°\), поэтому:

\[\phi = \arctan(\tan(45°))\]

Используя значение \(\arctan(\tan(45°)) = 45°\), мы можем сделать вывод, что угол поворота диска составляет 45°.