Каков угол между векторами с, чтобы Четырехугольник ABCD, являющийся параллелограммом, с углом B, равным 145?

Чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{c}\), необходимо использовать свойство скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) определяется следующим образом:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - это длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами.

Учитывая, что параллелограмм ABCD является параллелограммом, а стороны параллелограмма образуют параллельные векторы, можно сделать вывод, что векторы \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) параллельны. Это означает, что угол между ними является прямым углом, то есть 90 градусов.

Теперь нам нужно найти угол между векторами \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\). Используя свойство скалярного произведения, мы можем записать:

\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = \|\mathbf{b}\| \cdot \|\mathbf{c}\| \cdot \cos(\theta_{bc})
\]

где \(\theta_{bc}\) - это искомый угол между векторами \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\).

Дано, что угол B равен 145 градусам. Из определения параллелограмма известно, что противоположные углы параллелограмма равны. Это означает, что угол D также равен 145 градусам. Теперь у нас есть две вершины параллелограмма. Если мы рассмотрим вектор \(\mathbf{b}\), он будет представляться как разностью координат этих двух вершин:

\[
\mathbf{b} = \mathbf{D} - \mathbf{B}
\]

Подставим это в уравнение скалярного произведения:

\[
(\mathbf{D} - \mathbf{B}) \cdot \mathbf{c} = \|\mathbf{D} - \mathbf{B}\| \cdot \|\mathbf{c}\| \cdot \cos(\theta_{bc})
\]

Теперь, учитывая, что угол B равен 145 градусам, мы можем расписать это уравнение подробнее. Длины векторов можно выразить через их координаты:

\[
(D_x - B_x) \cdot c_x + (D_y - B_y) \cdot c_y = \sqrt{(D_x - B_x)^2 + (D_y - B_y)^2} \cdot \|\mathbf{c}\| \cdot \cos(\theta_{bc})
\]

Так как векторы \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) параллельны, их координаты между собой пропорциональны. Это означает, что

\[
\frac{c_x}{D_x - B_x} = \frac{c_y}{D_y - B_y}
\]

Мы также знаем, что длина вектора \(\mathbf{b}\) равна длине вектора \(\mathbf{c}\). Поэтому \(\|\mathbf{b}\| = \|\mathbf{c}\|\), что дает нам еще одно уравнение:

\[
\sqrt{(D_x - B_x)^2 + (D_y - B_y)^2} = \|\mathbf{c}\|
\]

Итак, у нас есть система уравнений, которые мы можем решить для определения значений координат вектора \(\mathbf{c}\). После нахождения этих значений мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину вектора \(\mathbf{c}\):

\[
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}
\]

Теперь мы можем найти угол \(\theta_{bc}\) с помощью уравнения первоначального скалярного произведения:

\[
\theta_{bc} = \arccos\left(\frac{(D_x - B_x) \cdot c_x + (D_y - B_y) \cdot c_y}{\sqrt{(D_x - B_x)^2 + (D_y - B_y)^2} \cdot \|\mathbf{c}\|}\right)
\]

Таким образом, мы можем использовать эти шаги для нахождения угла между векторами \(\mathbf{c}\) в задаче.