Каков угол между векторами AB и CA в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC? Какое будет произведение векторов

Для нахождения угла между векторами \(AB\) и \(CA\) в равнобедренном прямоугольном треугольнике \(ABC\), мы можем использовать геометрические и алгебраические подходы.

Геометрический подход:

1. Нарисуйте треугольник \(ABC\) на листе бумаги.
2. Обозначьте точки следующим образом: \(A\) - вершина угла, \(B\) - вершина основания, \(C\) - середина основания треугольника.
3. Нарисуйте векторы \(AB\) и \(CA\) на треугольнике.
4. Для нахождения угла между векторами \(AB\) и \(CA\), измерьте его с помощью транспортира или угломера на вашем чертеже. Запишите значение этого угла.

Алгебраический подход:

1. Обозначим координаты точек: \(A = (x_1, y_1)\), \(B = (x_2, y_2)\), \(C = (x_3, y_3)\).
2. Найдем координаты векторов \(AB\) и \(CA\):
\[AB = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\]
\[CA = (x_1 - x_3, y_1 - y_3)\]
3. Запишем произведение векторов \(AB \cdot CA\):
\[AB \cdot CA = (x_2 - x_1)(x_1 - x_3) + (y_2 - y_1)(y_1 - y_3)\]
4. Найдем длину векторов \(AB\) и \(CA\) с помощью формулы длины вектора:
\[|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[|CA| = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2}\]
5. Найдем косинус угла \(\theta\) между векторами \(AB\) и \(CA\) с помощью формулы скалярного произведения:
\[\cos(\theta) = \frac{AB \cdot CA}{|AB| \cdot |CA|}\]
6. Найдем сам угол \(\theta\) с помощью обратной функции косинуса:
\[\theta = \arccos\left(\frac{AB \cdot CA}{|AB| \cdot |CA|}\right)\]

Таким образом, вы можете найти угол между векторами \(AB\) и \(CA\) в равнобедренном прямоугольном треугольнике \(ABC\) с использованием геометрического подхода или алгебраического подхода. Также, вы можете найти произведение векторов \(AB \cdot CA\) с помощью алгебраического подхода, как указано в шаге 3.