Каков угол между радиусами, исходящими из центра окружности и направленными к концам хорды, если известно

Прежде чем мы решим эту задачу, давайте вспомним некоторые определения, связанные с окружностями.

Центр окружности - это точка, которая находится внутри окружности и одновременно на одинаковом расстоянии от всех точек окружности. Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Теперь, перейдем к решению задачи. У нас есть окружность и хорда, и известно, что расстояние от центра окружности до хорды составляет $d$ единиц.

Для начала, нарисуем схематически окружность. Пусть $O$ будет центром окружности, а $A$ и $B$ - точками концов хорды, как показано на рисунке.

$$О---(d)---C$$
$$||$$
$$A--------B$$

Обратите внимание, что окружность симметрична относительно радиуса. Это означает, что радиус от центра окружности до точки $A$ (обозначим его как $OA$) имеет такую же величину и направление, как радиус от центра окружности до точки $B$ (обозначим его как $OB$). Так как мы ищем угол между этими двумя радиусами, он будет равен углу между отрезками $OA$ и $OB$.

Используем свойство хорды, расстояние от центра окружности до хорды равно $\frac{d}{2}$ (половина длины хорды). Поскольку $OA$ и $OB$ - это радиус окружности, они проходят через центр окружности, а значит, вместе составляют диаметр окружности. Так как задано, что расстояние от центра до хорды составляет $d$, а диаметр равен удвоенному радиусу, то диаметр будет равен $2d$.

Теперь, применим теорему Пифагора к треугольнику $OAB$, где $OA$, $OB$ - катеты, а $AB$ - гипотенуза. Теорема Пифагора гласит:

$$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$$

Подставляя значения, получим:

$$A{B}^2={\left(\frac{d}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2$$

$$A{B}^2=\frac{d^2}{4}+\frac{d^2}{4}$$

$$A{B}^2=\frac{2d^2}{4}$$

$$A{B}^2=\frac{d^2}{2}$$

Теперь найдем гипотенузу $AB$:

$$AB=\sqrt{\frac{d^2}{2}}$$

Итак, мы получили длину гипотенузы треугольника $OAB$. Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение синуса для нахождения угла между радиусами:

$$\sin (\theta )=\frac{\text{{противоположный катет}}}{\text{{гипотенуза}}}=\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{\frac{d^2}{2}}}$$

Упрощая это выражение, получим:

$$\sin (\theta )=\frac{d}{\sqrt{2d^2}}$$

Мы можем дальше упростить это соотношение, разделяя числитель и знаменатель на $\sqrt{d^2}$:

$$\sin (\theta )=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Найдем обратный синус полученного значения, чтобы найти угол $\theta$:

$$\theta =\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Угол $\theta$ равен примерно 45 градусам.

Итак, ответ на задачу: угол между радиусами, исходящими из центра окружности и направленными к концам хорды, составляет примерно 45 градусов.