Каков угол между радиусами, исходящими из центра окружности и направленными к концам хорды, если известно

Прежде чем мы решим эту задачу, давайте вспомним некоторые определения, связанные с окружностями.

Центр окружности - это точка, которая находится внутри окружности и одновременно на одинаковом расстоянии от всех точек окружности. Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Теперь, перейдем к решению задачи. У нас есть окружность и хорда, и известно, что расстояние от центра окружности до хорды составляет \(d\) единиц.

Для начала, нарисуем схематически окружность. Пусть \(O\) будет центром окружности, а \(A\) и \(B\) - точками концов хорды, как показано на рисунке.

\[О---(d)---C\]
\[\, \, \, \, | \, \, \, \, \, \, | \]
\[A--------B\]

Обратите внимание, что окружность симметрична относительно радиуса. Это означает, что радиус от центра окружности до точки \(A\) (обозначим его как \(OA\)) имеет такую же величину и направление, как радиус от центра окружности до точки \(B\) (обозначим его как \(OB\)). Так как мы ищем угол между этими двумя радиусами, он будет равен углу между отрезками \(OA\) и \(OB\).

Используем свойство хорды, расстояние от центра окружности до хорды равно \(\frac{{d}}{{2}}\) (половина длины хорды). Поскольку \(OA\) и \(OB\) - это радиус окружности, они проходят через центр окружности, а значит, вместе составляют диаметр окружности. Так как задано, что расстояние от центра до хорды составляет \(d\), а диаметр равен удвоенному радиусу, то диаметр будет равен \(2d\).

Теперь, применим теорему Пифагора к треугольнику \(OAB\), где \(OA\), \(OB\) - катеты, а \(AB\) - гипотенуза. Теорема Пифагора гласит:

\[AB^2 = OA^2 + OB^2\]

Подставляя значения, получим:

\[AB^2 = \left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2 + \left(\frac{{d}}{{2}}\right)^2\]

\[AB^2 = \frac{{d^2}}{{4}} + \frac{{d^2}}{{4}}\]

\[AB^2 = \frac{{2d^2}}{{4}}\]

\[AB^2 = \frac{{d^2}}{{2}}\]

Теперь найдем гипотенузу \(AB\):

\[AB = \sqrt{\frac{{d^2}}{{2}}}\]

Итак, мы получили длину гипотенузы треугольника \(OAB\). Теперь мы можем использовать тригонометрическое соотношение синуса для нахождения угла между радиусами:

\[\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{{\frac{{d}}{{2}}}}{{\sqrt{\frac{{d^2}}{{2}}}}}\]

Упрощая это выражение, получим:

\[\sin(\theta) = \frac{{d}}{{\sqrt{2d^2}}}\]

Мы можем дальше упростить это соотношение, разделяя числитель и знаменатель на \(\sqrt{d^2}\):

\[\sin(\theta) = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\]

Найдем обратный синус полученного значения, чтобы найти угол \(\theta\):

\[\theta = \arcsin\left(\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\right)\]

Угол \(\theta\) равен примерно 45 градусам.

Итак, ответ на задачу: угол между радиусами, исходящими из центра окружности и направленными к концам хорды, составляет примерно 45 градусов.