Каков угол между плоскостью боковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью её основания, если высота

Чтобы найти угол между плоскостью боковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью её основания, нам понадобится использовать геометрию и тригонометрические соотношения.

Обозначим высоту пирамиды как \(h\) (в нашем случае \(h = 5\)), а высоту основания пирамиды как \(H\) (в нашем случае \(H = 15\)). Также понадобится некоторые вспомогательные обозначения.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через вершину пирамиды. Это сечение будет прямоугольным треугольником. Для нахождения угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания нам нужно найти угол между этим прямоугольным треугольником и плоскостью основания.

У нас есть прямоугольный треугольник со сторонами \(H\) и \(h\) и гипотенузой \(L\) (равняющейся длине бокового ребра пирамиды). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения \(L\):

\[L^2 = H^2 + h^2\]
\[L = \sqrt{H^2 + h^2}\]

Теперь нам необходимо найти синус угла, который необходимо найти. Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противоположенного катета к гипотенузе:

\[\sin(\theta) = \frac{h}{L}\]
\[\theta = \arcsin\left(\frac{h}{L}\right)\]

Подставим значения \(h = 5\) и \(H = 15\) в наши выражения, чтобы найти угол \(\theta\) в градусах:

\[L = \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225 + 25} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}\]
\[\theta = \arcsin\left(\frac{5}{5\sqrt{10}}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\]

Используя калькулятор, мы получаем, что \(\theta \approx 22.62^\circ\)

Таким образом, угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды составляет около \(22.62^\circ\).