Каков угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, если диагональ

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о геометрии, в частности о треугольниках и плоскостях.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в виде квадрата, а боковые грани – треугольники. Диагональ основания представляет собой отрезок, соединяющий две противоположные вершины квадрата. В этой задаче мы знаем, что диагональ основания равна 2, а высота пирамиды равна 1.

Чтобы найти угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания, мы можем использовать свойство пирамиды, которое заключается в том, что отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания. Пусть этот отрезок называется "h".

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза будет равна диагонали основания, одна катет будет равна половине стороны основания, а второй катет – высоте пирамиды.

Диагональ основания равна 2, а значит, катет прямоугольного треугольника равен \(\frac{2}{2} = 1\).
Высота пирамиды также равна 1.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]
\[
c^2 = 1^2 + 1^2
\]
\[
c^2 = 2
\]
\[
c = \sqrt{2}
\]

Теперь мы можем использовать формулу тангенса, чтобы найти искомый угол \(\theta\). Для этого мы разделим катет, соответствующий высоте пирамиды, на катет, соответствующий половине стороны основания:
\[
\tan(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{2}}
\]
\[
\tan(\theta) = 2h
\]
\[
\tan(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{1}
\]
\[
\tan(\theta) = \sqrt{2}
\]

Найдем значение угла \(\theta\), используя обратную функцию тангенса или арктангенс:
\[
\theta = \arctan(\sqrt{2})
\]

Пользуясь калькулятором, найдем приближенное значение:
\[
\theta \approx 54.74^\circ
\]

Таким образом, угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания примерно равен \(54.74^\circ\).