Каков угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, если диагональ

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о геометрии, в частности о треугольниках и плоскостях.

Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в виде квадрата, а боковые грани – треугольники. Диагональ основания представляет собой отрезок, соединяющий две противоположные вершины квадрата. В этой задаче мы знаем, что диагональ основания равна 2, а высота пирамиды равна 1.

Чтобы найти угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания, мы можем использовать свойство пирамиды, которое заключается в том, что отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания. Пусть этот отрезок называется "h".

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза будет равна диагонали основания, одна катет будет равна половине стороны основания, а второй катет – высоте пирамиды.

Диагональ основания равна 2, а значит, катет прямоугольного треугольника равен $\frac{2}{2}=1$.
Высота пирамиды также равна 1.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника:
$$c^2=a^2+b^2$$
$$c^2=1^2+1^2$$
$$c^2=2$$
$$c=\sqrt{2}$$

Теперь мы можем использовать формулу тангенса, чтобы найти искомый угол $\theta$. Для этого мы разделим катет, соответствующий высоте пирамиды, на катет, соответствующий половине стороны основания:
$$\tan (\theta )=\frac{h}{\frac{1}{2}}$$
$$\tan (\theta )=2h$$
$$\tan (\theta )=\frac{\sqrt{2}}{1}$$
$$\tan (\theta )=\sqrt{2}$$

Найдем значение угла $\theta$, используя обратную функцию тангенса или арктангенс:
$$\theta =\arctan (\sqrt{2})$$

Пользуясь калькулятором, найдем приближенное значение:
$$\theta \approx {54.74}^{\circ }$$

Таким образом, угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания примерно равен ${54.74}^{\circ }$.