Каков угол между диагоналями прямоугольника, если диагональ делит угол в соотношении 7 : 8? Найдите значение меньшего

Чтобы найти угол между диагоналями прямоугольника, когда диагональ делит угол в соотношении 7:8, нам нужно использовать знания о свойствах прямоугольников и тригонометрических функциях.

В прямоугольнике диагонали являются отрезками, соединяющими противоположные вершины. Изобразим прямоугольник и его диагонали:

\[d_1\] ------
| |
| |
| |
------ [d_2]

Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали прямоугольника. Они пересекаются в центре прямоугольника, образуя угол \(\theta\). Также известно, что \(d_1\) делит угол в соотношении 7:8.

Мы можем представить это соотношение в виде:

\(\dfrac{\theta}{\alpha} = \dfrac{7}{8}\)

где \(\alpha\) - угол, который \(d_1\) делит на две части, а \(\theta\) - угол между диагоналями.

Теперь найдем величину угла \(\alpha\). Угол \(\alpha\) можно найти с помощью тригонометрической функции тангенса (тангенс - отношение противоположной стороны к прилежащей):

\(\tan(\alpha) = \dfrac{d_1}{d_2}\)

Мы знаем, что диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, поэтому \(\tan(\alpha) = \tan(90^\circ - \alpha)\).

Используя это свойство, мы можем решить уравнение:

\(\tan(\alpha) = \tan(90^\circ - \alpha)\)

Из свойства тангенса, мы знаем, что \(\tan(90^\circ - \alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\).

Подставим эту информацию в уравнение:

\(\tan(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\).

Умножим обе части на \(\tan(\alpha)\):

\(\tan^2(\alpha) = 1\).

Теперь найдем значение \(\alpha\), возведя его в квадрат:

\(\alpha = \sqrt{1}\).

Мы получили \(\alpha = 1\).

Зная значение угла \(\alpha\), мы можем вычислить угол \(\theta\) (между диагоналями) следующим образом:

\(\theta = 2\alpha\).

Подставим значение \(\alpha\):

\(\theta = 2 \cdot 1 = 2\).

Таким образом, меньший угол между диагоналями прямоугольника равен 2 градусам.