Каков угол между боковой гранью и основанием правильной шестиугольной пирамиды, если высота пирамиды вдвое меньше

Для решения этой задачи нам потребуется знание основ геометрии и специфических свойств правильной шестиугольной пирамиды.

Итак, давайте начнем с определения. Правильная шестиугольная пирамида - это пирамида, у которой основанием является правильный шестиугольник, а все ее боковые грани равны и примыкают к основанию под углом.

Дано, что высота пирамиды вдвое меньше стороны основания. Обозначим эту сторону основания как \(s\), а высоту пирамиды как \(h\). Тогда мы можем записать следующее:
\[h = \frac{s}{2}\]

Далее нам понадобится знание свойств правильного шестиугольника. Углы правильного шестиугольника равны между собой и составляют 120 градусов. Каким образом мы можем использовать это свойство?

Рассмотрим пирамиду с боковой гранью, высота которой пересекает вершину пирамиды и основание под углом. Поскольку боковая грань является треугольным ортогональным треугольником, имеющим высоту \(h\) и основанием \(s\), мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит, что для треугольника с сторонами \(a\), \(b\) и углом \(\theta\) между ними, квадрат стороны c можно найти следующим образом:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta\]

В нашем случае, стороны треугольника это \(s\), \(s\) и \(h\), а угол \(\theta\) - это искомый угол между боковой гранью и основанием. Подставляя значения и решая уравнение, мы найдем квадрат \(h\) и сможем рассчитать значение угла \(\theta\).

Теперь найдем квадрат \(h\):
\[h^2 = s^2 + s^2 - 2s \cdot s \cdot \cos\theta\]

Подставим значение \(h = \frac{s}{2}\):
\[\left(\frac{s}{2}\right)^2 = s^2 + s^2 - 2s \cdot s \cdot \cos\theta\]

Упростим и решим уравнение:
\[\frac{s^2}{4} = 2s^2 - 2s^2 \cdot \cos\theta\]
\[\frac{s^2}{4} = 2s^2(1 - \cos\theta)\]

Делим обе части на \(2s^2\):
\[\frac{1}{4} = 1 - \cos\theta\]

Теперь выразим \(\cos\theta\):
\[\cos\theta = 1 - \frac{1}{4}\]
\[\cos\theta = \frac{3}{4}\]

Используя тригонометрическую таблицу или калькулятор, мы находим обратный косинус от \(\frac{3}{4}\) и получаем:
\[\theta \approx 41.41^\circ\]

Таким образом, угол между боковой гранью и основанием правильной шестиугольной пирамиды составляет приблизительно \(41.41^\circ\).