Каков угол A треугольника, если его вершины заданы точками A(1, 0, 1), B(-5, 4, 3) и C(0, 3, -1)?

Чтобы найти угол A треугольника ABC, заданного вершинами A(1, 0, 1), B(-5, 4, 3) и C(0, 3, -1), мы должны использовать формулы для нахождения угла между двумя векторами.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC. Для этого вычислим разности координат между соответствующими вершинами:

Вектор AB = B - A = (-5, 4, 3) - (1, 0, 1) = (-6, 4, 2)
Вектор AC = C - A = (0, 3, -1) - (1, 0, 1) = (-1, 3, -2)

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов AB и AC. Формула для скалярного произведения двух векторов (u1, u2, u3) и (v1, v2, v3) выглядит следующим образом:

AB · AC = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3

Выполнив вычисления, получаем:

AB · AC = (-6 * -1) + (4 * 3) + (2 * -2) = 6 + 12 - 4 = 14

Шаг 3: Найдем длины векторов AB и AC. Длина вектора (x, y, z) вычисляется по формуле:

|AB| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Применяя формулу, получаем:

|AB| = √((-6)^2 + 4^2 + 2^2) = √(36 + 16 + 4) = √56 ≈ 7.48
|AC| = √((-1)^2 + 3^2 + (-2)^2) = √(1 + 9 + 4) = √14 ≈ 3.74

Шаг 4: Найдем значение косинуса угла A с использованием скалярного произведения и длин векторов. Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами выглядит следующим образом:

cos(A) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

Подставив значения, получаем:

cos(A) = 14 / (7.48 * 3.74) ≈ 0.628

Шаг 5: Найдем значение угла A, применяя обратную функцию косинуса (арккосинус) к значению, найденному в предыдущем шаге:

A = arccos(0.628) ≈ 51.45°

Итак, угол A треугольника ABC составляет примерно 51.45°.