Каков угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=1/3 x^3-2x в точке с координатами (1, f(1))?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с определения углового коэффициента касательной. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке показывает, насколько быстро меняется значение функции по отношению к изменению аргумента (x-координаты). Он также может быть интерпретирован как тангенс угла, образованного касательной линией с положительным направлением оси x.

2. Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нам нужно использовать производную функции в данной точке. Производная функции показывает скорость изменения функции и является уравнением касательной.

3. Давайте найдем производную функции f(x). Возьмем производную каждого из слагаемых:
\[f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\]

Для первого слагаемого, \(\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2\).
Для второго слагаемого, \(\frac{d}{dx}(-2x) = -2\).

Теперь сложим эти два слагаемых, чтобы получить производную:
\(f"(x) = x^2 - 2\).

4. Теперь мы можем найти угловой коэффициент касательной в точке (1, f(1)). Для этого подставим значение x = 1 в производную функции f"(x):
\(f"(1) = (1)^2 - 2 = -1\).

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = \(\frac{1}{3}x^3-2x\) в точке (1, f(1)) равен -1.

Обратите внимание, что угловой коэффициент означает, что касательная наклонена вниз, потому что угол отрицательный. Это означает, что график функции имеет наклон вниз в этой точке.