Каков тангенс угла между вектором полного ускорения и вектором скорости частицы после прошествия времени с, если

Для решения данной задачи, нам понадобится некоторые физические понятия и формулы. Давайте начнем с определений:

1. Вектор полного ускорения (a) - это сумма векторов радиального ускорения (a_r) и тангенциального ускорения (a_t).
2. Вектор скорости (v) - это векторной величина, определяемая направлением и скоростью движения.

Дано, что частица начинает двигаться по дуге окружности радиуса \( r \) с постоянным угловым ускорением. Так как частица начинает со спокойного состояния, то ее начальная скорость равна нулю \( v_0 = 0 \).

Поскольку вектор полного ускорения является результатом суммы радиального ускорения и тангенциального ускорения, нам нужно определить эти два компонента.

1. Радиальное ускорение \( a_r \) - это ускорение частицы в направлении радиуса окружности. Направление радиального ускорения всегда смотрит на центр окружности. В данном случае, оно равно нулю, так как угловое ускорение происходит вдоль окружности и не имеет компоненты в направлении радиуса. То есть \( a_r = 0 \).

2. Тангенциальное ускорение \( a_t \) - это ускорение частицы в направлении движения по окружности. Это и есть угловое ускорение \( \alpha \), умноженное на радиус окружности \( r \). То есть \( a_t = \alpha \cdot r \).

Итак, вектор полного ускорения (a) представляет собой сумму радиального ускорения (\( a_r \)) и тангенциального ускорения (\( a_t \)), то есть

\[ a = a_r + a_t = 0 + \alpha \cdot r = \alpha \cdot r \].

Поскольку у нас постоянное угловое ускорение (\( \alpha \)), его можно записать в виде \( \alpha = \frac{2\pi}{T} \), где \( T \) - это период обращения частицы по окружности.

Теперь рассмотрим вектор скорости (v) частицы после времени \( t \). Можем использовать формулу для равномерно ускоренного кругового движения:

\[ v = v_0 + a \cdot t \],

где \( v_0 \) - начальная скорость (в нашем случае равна нулю), \( a \) - вектор полного ускорения и \( t \) - время.

Таким образом,

\[ v = a \cdot t = (\alpha \cdot r) \cdot t = (\frac{2\pi}{T} \cdot r) \cdot t \].

Наконец, чтобы найти тангенс угла между вектором полного ускорения и вектором скорости частицы после прошествия времени \( t \), необходимо разделить вертикальную составляющую вектора скорости на горизонтальную составляющую вектора скорости.

Вертикальная составляющая скорости \( v_y \) равна \( v_y = v \cdot \sin(\theta) \),
а горизонтальная составляющая скорости \( v_x \) равна \( v_x = v \cdot \cos(\theta) \).

Тангенс угла между вектором полного ускорения и вектором скорости будет равен отношению вертикальной и горизонтальной составляющих, то есть:

\[ \tan(\theta) = \frac{v_y}{v_x} \].

Теперь мы знаем все необходимые формулы, чтобы решить задачу.

Предоставьте значение периода обращения \( T \), радиуса окружности \( r \) и времени \( t \), чтобы я мог вычислить тангенс угла между вектором полного ускорения и вектором скорости частицы.