Каков тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания, если одна из биссектрис основания

Для начала, давайте определим некоторые основные понятия.

Представьте правильную треугольную пирамиду, у которой основание - равносторонний треугольник. В этом случае, все три боковые грани пирамиды будут равны между собой и образуют угол \(60^\circ\) с плоскостью её основания.

Теперь рассмотрим ситуацию, в которой одна из биссектрис основания равна 6, а высота пирамиды обозначена \(h\). Пусть \(l\) будет длина боковой грани пирамиды, а \(d\) - длина стороны основания треугольника.

Отношение высоты пирамиды \(h\) к длине стороны треугольника основания \(d\) может быть выражено следующим образом:

\[
\frac{h}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Подставив \(d = 2 \cdot 6 = 12\) (так как биссектриса равна 6), получим:

\[
h = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}
\]

Теперь нужно найти тангенс угла \(\theta\) между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания. Для этого нам понадобится знать отношение высоты \(h\) к длине боковой грани \(l\).

Отношение высоты \(h\) к длине \(l\) может быть выражено так:

\[
\tan(\theta) = \frac{h}{l}
\]

Нам уже известна высота \(h = 6 \sqrt{3}\), поэтому нам нужно найти значение длины \(l\).

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для основания треугольника, используя длины сторон основания \(d\) и \(l\):

\[
l^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + h^2
\]

Подставив значения \(d = 12\) и \(h = 6 \sqrt{3}\) в уравнение, найдём значение \(l\):

\[
l^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 + (6 \sqrt{3})^2
\]

\[
l^2 = 6^2 + 6^2 \cdot 3
\]

\[
l^2 = 36 + 108
\]

\[
l^2 = 144
\]

\[
l = 12
\]

Теперь, подставив найденные значения \(h\) и \(l\) в уравнение для тангенса, выразим тангенс угла \(\theta\):

\[
\tan(\theta) = \frac{h}{l} = \frac{6 \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).