Каков тангенс угла BAC в треугольнике ABC, где площадь треугольника равна 28, длина стороны AB равна 8 и угол ABC равен

Чтобы вычислить тангенс угла BAC, нам понадобится некоторая информация о треугольнике ABC.

Дано, что площадь треугольника ABC равна 28, а сторона AB равна 8. Также дано, что угол ABC равен 90 градусов. Мы можем использовать эти данные для решения задачи.

Сначала нам нужно найти длину стороны AC. Мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\]

Подставив известные значения, получим:

\[28 = \frac{1}{2} \times 8 \times \text{Высота}\]

Чтобы найти высоту треугольника (высоту, опущенную из вершины B на сторону AC), нам необходимо выразить её через неизвестную сторону AC. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b, выполняется следующее равенство:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае сторона AC будет гипотенузой, так как угол ABC является прямым. Используя теорему Пифагора, можем записать:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставив известные значения, получим:

\[AC^2 = 8^2 + BC^2\]

\[AC^2 = 64 + BC^2\] (1)

Теперь мы можем выразить высоту через сторону BC. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:

\[28 = \frac{1}{2} \times AC \times BC\]

Подставив выражение для AC из формулы (1), получим:

\[28 = \frac{1}{2} \times \sqrt{64 + BC^2} \times BC\]

Упростим это выражение:

\[56 = \sqrt{64 + BC^2} \times BC\]

\[56^2 = (64 + BC^2) \times BC^2\]

\[3136 = 64BC^2 + BC^4\]

Теперь это уравнение стало квадратным относительно переменной BC^2.

\[BC^4 + 64BC^2 - 3136 = 0\]

Получившееся квадратное уравнение может быть решено путем замены переменной \(x = BC^2\).

Теперь у нас получается квадратное уравнение:

\[x^2 + 64x - 3136 = 0\]

Как известно, квадратное уравнение может быть решено с использованием дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Для этого уравнения:

\[a = 1, b = 64, c = -3136\]

\[D = 64^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3136) = 4096\]

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два действительных корня.

Используя формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x = \frac{-64 \pm \sqrt{4096}}{2}\]

\[x = \frac{-64 \pm 64}{2}\]

Теперь мы находим значения BC^2:

\[BC^2 = \frac{-64 + 64}{2} = 0\]

и

\[BC^2 = \frac{-64 - 64}{2} = -64\]

Отрицательный результат не имеет физического смысла, поэтому отбрасываем его.

Итак, мы получили, что \(BC^2 = 0\), что означает, что сторона BC равна 0.

Теперь, когда мы знаем, что BC = 0, можно найти высоту треугольника BC.

Используя формулу для высоты треугольника:

\[Высота = \frac{\text{Площадь}}{\text{Основание}}\]

Подставляя известные значения, получим:

\[Высота = \frac{28}{8} = 3,5\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления тангенса угла BAC.

Тангенс угла BAC выражается как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем случае противолежащий катет - высота треугольника, а прилежащий катет - сторона AB.

\[ \text{Тангенс} \angle BAC = \frac{\text{Высота}}{\text{AB}} = \frac{3,5}{8} \approx 0,4375\]

Таким образом, тангенс угла BAC в треугольнике ABC, при данных условиях, равен примерно 0,4375.