Решите неравенство: log1/3((4-x)(x2+29

Хорошо, давайте решим данное неравенство пошагово.

Неравенство, которое нам предстоит решить, выглядит так:
\(\log_{\frac{1}{3}}((4-x)(x^2+29))\)

Для начала, давайте проанализируем область допустимых значений переменной \(x\), чтобы убедиться, что логарифм определен:

\(\frac{1}{3} > 0\), это соответствует условию: \(\frac{1}{3} > 0 \: \Rightarrow \: 0 < x < 4\)

Обратите внимание, что логарифм с положительным основанием возможен только для положительных аргументов, поэтому у нас есть ограничение на значения выражения \((4-x)(x^2+29)\). Из данного уравнения можно сделать вывод, что \((4-x)\) и \((x^2+29)\) должны быть положительными:

\((4-x) > 0 \: \Rightarrow \: x < 4\)

\((x^2+29) > 0\), это дает нам условие: \(x^2 > -29\)

Мы знаем, что квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю, поэтому условие \(x^2 > -29\) выполняется для любых значений \(x\).

Итак, область допустимых значений для \(x\) равна: \(0 < x < 4\)

Теперь перейдем к решению самого неравенства.

\(\log_{\frac{1}{3}}((4-x)(x^2+29)) > 0\)

Для начала, воспользуемся свойством логарифмов и перепишем данное неравенство в эквивалентной форме:

\((4-x)(x^2+29) > (1)^0\)

Так как логарифм в данном уравнении равен 0, то мы знаем, что основание логарифма \(\frac{1}{3}\) возводится в степень 0.

\((4-x)(x^2+29) > 1\)

Теперь необходимо решить это квадратное неравенство. Разделим его на два слагаемых и решим каждое из них отдельно:

\(4-x > 1\) и \(x^2+29 > 1\)

Решение первого неравенства:

\(4-x > 1\)

Вычитаем 4 из обеих сторон:

\(-x > -3\)

Меняем знак на противоположный:

\(x < 3\)

Решение второго неравенства:

\(x^2+29 > 1\)

Вычитаем 29 из обеих сторон:

\(x^2 > -28\)

Мы знаем, что квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю, поэтому данное неравенство выполняется для любых значений \(x\).

Итак, решение системы неравенств: \(0 < x < 3\)

Надеюсь, данное подробное решение помогло вам разобраться в данной задаче! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.