Каков старший коэффициент квадратного трехчлена (коэффициент а), известный угол ABC = 90°? На координатной плоскости

Для решения этой задачи мы должны использовать информацию о точках пересечения параболы с осями координат и известном угле ABC = 90°.

Из условия задачи мы знаем, что точки A и B являются пересечениями параболы с осью Ox. Координаты этих точек - A(-1/9; 0) и B(1/4; 0). Точка C является пересечением параболы с осью Oy и находится ниже оси Ox.

Поскольку известно, что парабола пересекает ось Ох в точках A и B, это означает, что у этой параболы есть два действительных корня. Исходя из этого, мы можем предположить, что у квадратного трехчлена есть вид \(y = ax^2 + bx + c\).

Также, поскольку точка C находится ниже оси Ох, это означает, что коэффициент \(a\) должен быть положительным, чтобы парабола открывалась вверх и имела минимум.

Для нахождения старшего коэффициента \(a\) нам потребуется использовать информацию о точках A и B. Раз точка A (-1/9; 0) и точка B (1/4; 0) являются корнями этого квадратного трехчлена, мы можем записать два уравнения:

\[a \cdot \left(-\frac{1}{9}\right)^2 + b \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) + c = 0\]
\[a \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + b \cdot \left(\frac{1}{4}\right) + c = 0\]

Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки. Выразим букву c через \(a\) и \(b\) в одном из уравнений и подставим в другое уравнение:

\[c = -a \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^2 - b \cdot \left(\frac{1}{9}\right)\]

Подставляем это значение \(c\) во второе уравнение:

\[a \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + b \cdot \left(\frac{1}{4}\right) -a \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^2 - b \cdot \left(\frac{1}{9}\right) = 0\]

Упростим это уравнение, чтобы избавиться от дробей:

\[\frac{1}{16}a + \frac{1}{4}b - \frac{1}{81}a - \frac{1}{9}b = 0\]

Найдем общий знаменатель и объединим подобные члены:

\[\frac{9a + 36b - a - 16b}{144} = 0\]

Упростим числитель:

\[\frac{8a + 20b}{144} = 0\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором только два неизвестных \(a\) и \(b\). Мы знаем, что оно является верным, так как точки A и B находятся на параболе.

Теперь мы можем найти значение старшего коэффициента \(a\). Умножим оба выражения на 144, чтобы избавиться от знаменателя:

\[8a + 20b = 0\]

Упростим это уравнение:

\[4a + 10b = 0\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
4a + 10b = 0 \\
a > 0
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 2:

\[
\begin{cases}
8a + 20b = 0 \\
4a + 10b = 0 \\
a > 0
\end{cases}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[
\begin{cases}
4a = 0 \\
a > 0
\end{cases}
\]

Так как \(a > 0\) и \(4a = 0\), то \(a = 0\).

Однако, по условию задачи известно, что коэффициент \(a\) является старшим коэффициентом квадратного трехчлена, т.е. он не равен нулю.

Таким образом, делаем вывод, что данное задание противоречит условиям и не имеет решения.