Докажите, что одно из двух чисел, составленных из 90 карточек с цифрами от 1 до 9, может быть представлено в виде

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть 90 карточек, на каждой из которых написана одна из цифр от 1 до 9. Нам нужно доказать, что одно из двух чисел, которые можно составить из этих карточек, может быть представлено в виде произведения четырех натуральных множителей, не обязательно различных и больших единицы.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся принципом Дирихле, также известным как принцип ящиков. Этот принцип утверждает, что если \(n+1\) или более объектов распределить по \(n\) ящикам, то должен существовать по крайней мере один ящик, содержащий два или более объектов.

В нашем случае, у нас имеется 9 цифр и 90 карточек, а мы стремимся составить два числа из этих карточек. Если мы рассмотрим различные комбинации цифр, которые мы можем получить, то поймем, что у нас возникают следующие возможности:

1. Одно из чисел будет состоять только из одной цифры, например, число 5.
2. Одно из чисел будет состоять из двух цифр, например, число 12.
3. Одно из чисел будет состоять из трех цифр, например, число 345.
4. Одно из чисел будет состоять из четырех цифр, например, число 6789.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации чисел из этих четырех случаев.

1. Если одно из чисел состоит только из одной цифры, то мы можем выразить его как произведение этой цифры и трех единиц: \(x = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot x\), где \(x\) - это это число.
2. Если одно из чисел состоит из двух цифр, например, 12, то мы можем представить его как произведение двух множителей, где один из множителей также будет содержать две цифры: \(12 = 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6\).
3. Если одно из чисел состоит из трех цифр, например, 345, то мы можем представить его как произведение трех множителей, где два из множителей содержат две цифры: \(345 = 3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 5\).
4. Если одно из чисел состоит из четырех цифр, например, 6789, то мы можем представить его как произведение двух множителей, где один из множителей содержит две цифры, и два других множителя содержат по одной цифре: \(6789 = 67 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 9\).

Итак, мы видим, что в каждом случае можем представить одно из чисел в виде произведения четырех натуральных множителей, не обязательно различных и больших единицы. Следовательно, мы доказали, что одно из двух чисел, составленных из 90 карточек с цифрами от 1 до 9, может быть представлено в таком виде.