Каков шестой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если известно, что пятый член равен

Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для n-го члена геометрической прогрессии. Формула имеет вид:

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1},\]

где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена, для которого мы ищем значение.

Нам дано, что пятый член прогрессии равен 12. По формуле:

\[a_5 = a_1 \cdot q^{5-1} = 12.\]

Известно также, что седьмой член прогрессии равен \(a_7\). По формуле:

\[a_7 = a_1 \cdot q^{7-1}.\]

Нам нужно выразить знаменатель \(q\) через известные значения, чтобы найти шестой член прогрессии \(a_6\). Для этого воспользуемся отношением \(a_7 / a_5\):

\[\frac{a_7}{a_5} = \frac{a_1 \cdot q^{7-1}}{a_1 \cdot q^{5-1}}.\]

Упростив выражение, получаем:

\[\frac{a_7}{a_5} = q^2.\]

Из условия задачи известно, что \(\frac{a_7}{a_5} = 2\). Подставим это значение и найдем \(q\):

\[2 = q^2.\]

Чтобы найти \(q\), возведем обе части уравнения в квадратный корень:

\[\sqrt{2} = q.\]

Теперь, когда мы знаем значение знаменателя \(q\), можем воспользоваться формулой, чтобы найти шестой член прогрессии:

\[a_6 = a_1 \cdot q^{6-1}.\]

Ответ:

Шестой член геометрической прогрессии равен \(a_6 = a_1 \cdot (\sqrt{2})^5\).

Значение знаменателя геометрической прогрессии равно \(q = \sqrt{2}\).