Каков результат выражения (3a+b)(a+3b), если векторы a и b имеют модули 2 и 7 соответственно, а угол ф между ними равен

Для решения данной задачи нам понадобятся знания из алгебры и геометрии.

Для начала, давайте найдем выражения a и b в виде координат:

Пусть вектор a имеет координаты (x₁, y₁), а вектор b - (x₂, y₂). Поскольку модуль вектора a равен 2, то мы можем записать уравнение x₁² + y₁² = 2², откуда следует, что x₁² + y₁² = 4 (1). С аналогичным уравнением для вектора b получаем x₂² + y₂² = 7², что приводит к уравнению x₂² + y₂² = 49 (2).

Также известно, что угол ф между векторами a и b равен 30 градусам. Зная это, мы можем использовать формулы для скалярного произведения векторов и косинуса угла между ними:
\(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\varphi)\) (3),

где \(a \cdot b\) - скалярное произведение векторов a и b, \(|a|\) и \(|b|\) - модули векторов a и b соответственно, а \(\varphi\) - угол между векторами a и b.

Подставляя известные значения в формулу (3), мы получаем:
\(a \cdot b = 2 \cdot 7 \cdot \cos(30^\circ)\) (4).

Нахождение значения \(\cos(30^\circ)\) можно выполнить с помощью таблицы значений или калькулятора. Известно, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:
\(a \cdot b = 2 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 \sqrt{3}\) (5).

Теперь, чтобы найти результат выражения (3a+b)(a+3b), мы можем использовать полученные значения векторов a и b и сделать следующие преобразования:

\((3a+b)(a+3b) = 3a \cdot a + 9a \cdot b + a \cdot 3b + b \cdot 3b\) (6).

Замечаем, что первый и третий члены - это скалярное произведение вектора a на себя и вектора b на себя соответственно, а второй и четвертый члены - это скалярное произведение векторов a и b. Подставляем значения:

\((3a+b)(a+3b) = 3|a|^2 + 9(a \cdot b) + 3(a \cdot b) + |b|^2\) (7).

Используя формулы (1), (2) и (5), мы можем заменить модули векторов и скалярное произведение векторов:

\((3a+b)(a+3b) = 3 \cdot 4 + 9(7 \sqrt{3}) + 3(7 \sqrt{3}) + 49\) (8).

Выполняем необходимые вычисления:

\((3a+b)(a+3b) = 12 + 63 \sqrt{3} + 21 \sqrt{3} + 49\) (9).

Складываем числа внутри скобок:

\((3a+b)(a+3b) = 12 + 84 \sqrt{3} + 49\) (10).

Подсчитываем сумму:

\((3a+b)(a+3b) = 61 + 84 \sqrt{3}\) (11).

Таким образом, результат выражения (3a+b)(a+3b) равен 61 + 84 \(\sqrt{3}\).