1. Какое количество ребер есть в полном графе с 9 вершинами? 2. Сколько ребер есть в графе, если степени его вершин

Конечно! С удовольствием помогу с решением данных задач.

1. Для решения первой задачи нам необходимо вычислить количество ребер в полном графе с 9 вершинами. Полный граф - это такой граф, в котором каждая вершина соединена со всеми остальными. Существует формула, позволяющая посчитать количество ребер в полном графе: \(E = \frac{{n \cdot (n-1)}}{2}\), где \(E\) - количество ребер, а \(n\) - количество вершин. Подставим в формулу значение \(n = 9\):
\[E = \frac{{9 \cdot (9-1)}}{2} = \frac{{9 \cdot 8}}{2} = \frac{{72}}{2} = 36\]

Таким образом, в полном графе с 9 вершинами имеется 36 ребер.

2. Во второй задаче нам дано количество ребер каждой вершины графа. Для определения общего количества ребер в графе нужно найти сумму степеней всех вершин и разделить ее на 2, так как каждое ребро соединяет две вершины. Исходя из условия задачи, степени вершин равны 5, 4, 3, 5, 4, 3, 5, 4, 3. Выполним вычисления:
\[E = \frac{{5 + 4 + 3 + 5 + 4 + 3 + 5 + 4 + 3}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\]

Ответ: в данном графе имеется 18 ребер.

3. В третьей задаче нам нужно определить наименьшее количество ребер, которые необходимо удалить из полного графа с 16 вершинами, чтобы он перестал быть связным. Для того чтобы граф перестал быть связным, нужно удалить ребра, которые соединяют пары вершин так, чтобы каждая вершина была отделена от всех остальных. Максимальное количество ребер, связывающих вершины в полном графе с 16 вершинами, можно найти по формуле, которая была использована в первой задаче: \(E = \frac{{n \cdot (n-1)}}{2}\), где \(E\) - количество ребер, а \(n\) - количество вершин. Подставим в формулу значение \(n = 16\):
\[E = \frac{{16 \cdot (16-1)}}{2} = \frac{{16 \cdot 15}}{2} = \frac{{240}}{2} = 120\]

Таким образом, в полном графе с 16 вершинами имеется 120 ребер. Чтобы граф перестал быть связным, необходимо удалить все ребра, кроме одного на каждую вершину, так как тогда каждая вершина будет отделена от всех остальных. Из общего количества ребер (120) вычитаем количество ребер, оставляемых на каждую вершину (16 - 1 = 15):
\[E_{\text{удаленных}} = 120 - 15 = 105\]

Ответ: для того чтобы полный граф с 16 вершинами перестал быть связным, необходимо удалить 105 ребер.