Каков результат вычисления выражения 6sin(α−17π)+5cos( +α) : sin(α+9π)?

Для решения данной задачи, нам необходимо применить формулы тригонометрии и прокомментировать каждый шаг.

Вначале заметим, что в формуле фигурируют значения синуса и косинуса разностей углов. Распишем каждое слагаемое, чтобы убедиться в правильности решения.

Выражение \(6\sin(\alpha-17\pi)\) означает, что мы должны взять синус разности угла \(\alpha\) и значения \(17\pi\). Следовательно, чтобы найти эту разность, нужно вычесть значение \(17\pi\) из угла \(\alpha\).

Аналогичным образом, \(5\cos(\alpha)\) - это косинус угла \(\alpha\).

Вычислим числитель данного выражения: \[6\sin(\alpha-17\pi) + 5\cos(\alpha)\]

Основываясь на формулах тригонометрии, синус разности углов можно выразить следующим образом:

\[\sin(\alpha-17\pi) = \sin(\alpha)\cos(17\pi) - \cos(\alpha)\sin(17\pi)\]

Так как \(\cos(17\pi) = \cos(2\pi \cdot 8 + \pi) = \cos(\pi) = -1\) и \(\sin(17\pi) = \sin(2\pi \cdot 8 + \pi) = \sin(\pi) = 0\), получаем:

\[\sin(\alpha-17\pi) = \sin(\alpha)(-1) - \cos(\alpha)(0) = -\sin(\alpha)\]

Аналогично, выражение \(5\cos(\alpha)\) остается без изменений.

Теперь рассмотрим знаменатель: \(\sin(\alpha+9\pi)\). Чтобы найти это значение, нужно сложить угол \(\alpha\) и \(9\pi\).

Снова используем формулу синуса суммы углов:

\[\sin(\alpha+9\pi) = \sin(\alpha)\cos(9\pi) + \cos(\alpha)\sin(9\pi)\]

Так как \(\cos(9\pi) = \cos(2\pi \cdot 4 + \pi) = \cos(\pi) = -1\) и \(\sin(9\pi) = \sin(2\pi \cdot 4 + \pi) = \sin(\pi) = 0\), получаем:

\[\sin(\alpha+9\pi) = \sin(\alpha)(-1) + \cos(\alpha)(0) = -\sin(\alpha)\]

Теперь можем вычислить итоговое значение выражения:

\[\frac{6\sin(\alpha-17\pi) + 5\cos(\alpha)}{\sin(\alpha+9\pi)} = \frac{-6\sin(\alpha) + 5\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}\]

Заметим, что \(\sin(\alpha)\) сокращается и мы получаем:

\[-\frac{6\sin(\alpha) - 5\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\]

Таким образом, результат вычисления данных выражений равняется \(-6 + \frac{5\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\).

Окончательный ответ: \(-6 + \frac{5\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)

Обратите внимание, что данное решение универсально и подходит для любого значения угла \(\alpha\).