Каков радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции, если её площадь составляет 120 см² и боковые стороны равны

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с известной информации. Мы знаем, что площадь треугольника составляет 120 см². Давайте обозначим эту площадь как S.

\[S = 120\, \text{см}^2\]

2. Также нам известно, что боковые стороны равны. Обозначим их через a.

3. Для начала нам нужно выразить высоту треугольника через известные величины. Обозначим высоту через h.

4. Зная высоту треугольника, мы можем найти радиус вписанной окружности. Обозначим радиус через r.

5. Известно, что площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и длину его стороны:

\[S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a\]

6. Мы можем выразить высоту через площадь треугольника и длину его стороны:

\[h = \frac{2 \cdot S}{a}\]

7. Также мы знаем, что радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

\[r = \frac{a \cdot h}{a + \sqrt{a^2 - 4 \cdot S}}\]

8. Подставляем значения площади и длины боковой стороны в формулу, чтобы найти значение высоты:

\[h = \frac{2 \cdot (120\, \text{см}^2)}{a}\]

9. Теперь заменяем значение высоты в формуле для радиуса:

\[r = \frac{a \cdot \left(\frac{2 \cdot (120\, \text{см}^2)}{a}\right)}{a + \sqrt{a^2 - 4 \cdot (120\, \text{см}^2)}}\]

10. Данный результат может быть упрощен:

\[r = \frac{240\, \text{см}^2}{a + \sqrt{a^2 - 480\, \text{см}^2}}\]

Ответом будет значение радиуса r, которое было получено после упрощения формулы.