Каков радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной 18 см? Каковы

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства правильных треугольников.

1. Радиус вписанной окружности:
В случае правильного треугольника, радиус вписанной окружности можно найти по следующей формуле:
\[r = \frac{{a \sqrt{3}}}{{6}},\]
где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значение стороны треугольника \(a = 18\) в данную формулу, получим:
\[r = \frac{{18 \sqrt{3}}}{{6}} = \frac{{3 \cdot 18 \sqrt{3}}}{{6}} = \frac{{54 \sqrt{3}}}{{6}} = 9 \sqrt{3} \approx 15,588 cm.\]

Ответ: Радиус вписанной окружности приближенно равен 15,588 см.

2. Радиус описанной окружности:
Также, для правильного треугольника, радиус описанной окружности может быть найден по следующей формуле:
\[R = \frac{{a}}{{2 \sqrt{3}}},\]
где \(R\) - радиус описанной окружности, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значение стороны треугольника \(a = 18\) в данную формулу, получим:
\[R = \frac{{18}}{{2 \sqrt{3}}},\]
затем, упрощаем выражение:
\[R = \frac{{9}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{9 \cdot \sqrt{3}}}{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}} = \frac{{9 \cdot \sqrt{3}}}{{3}} = 3 \cdot \sqrt{3} \approx 5.196 cm.\]

Ответ: Радиус описанной окружности приближенно равен 5,196 см.

3. Площадь правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника можно найти по следующей формуле:
\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{{4}},\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значение стороны треугольника \(a = 18\) в данную формулу, получим:
\[S = \frac{{18^2 \sqrt{3}}}{{4}} = \frac{{324 \sqrt{3}}}{{4}} = 81 \sqrt{3} \approx 140.249\, cm^2.\]

Ответ: Площадь треугольника приближенно равна 140,249 квадратных сантиметров.

4. Периметр правильного треугольника:
Периметр правильного треугольника можно найти умножив длину одной стороны треугольника на 3.

Подставляя значение стороны треугольника \(a = 18\) в данную формулу, получим:
\[P = 18 \cdot 3 = 54 \, cm.\]

Ответ: Периметр треугольника равен 54 см.

Таким образом, радиус вписанной окружности приближенно равен 15,588 см, радиус описанной окружности приближенно равен 5,196 см, площадь треугольника приближенно равна 140,249 квадратных сантиметров, и периметр треугольника равен 54 см.