Каков объем правильной пирамиды DABC, если сторона AB равна 9, а сторона AD равна квадратному корню?

Чтобы найти объем правильной пирамиды, нам понадобятся значения ее ребра и высоты.

Дано, что сторона AB равна 9, а сторона AD равна квадратному корню.

Правильная пирамида имеет треугольную основу, поэтому сторона AD является высотой пирамиды.

Теперь, чтобы найти длину ребра пирамиды, нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора для правильного треугольника ABD.

Согласно теореме Пифагора, гипотенуза квадрата равна сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенуза - это сторона AB, а катеты - сторона AD и ребро пирамиды. Таким образом, у нас есть следующее равенство:

\[ AB^2 = AD^2 + (ребро)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 9^2 = (\sqrt{AD})^2 + (ребро)^2 \]

\[ 81 = AD + (ребро)^2 \]

Теперь найдем значение ребра пирамиды:

\[ (ребро)^2 = 81 - AD^2 \]

\[ (ребро)^2 = 81 - (\sqrt{AD})^2 \]

\[ (ребро)^2 = 81 - AD \]

\[ (ребро)^2 = 81 - (\sqrt{AD})^2 \]

Теперь найдем объем пирамиды. Формула для объема правильной пирамиды выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \]

где \( S_{осн} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Площадь основания равна площади треугольника ABC. Для правильного треугольника площадь можно найти с помощью следующей формулы:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

где \( a \) - сторона основания (в данном случае сторона AB).

Теперь, когда мы знаем все необходимые значения, мы можем найти объем пирамиды. Подставим их в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \right) \times h \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9^2 \right) \times \sqrt{AD} \]

\[ V = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 81 \right) \times \sqrt{AD} \]

Таким образом, объем правильной пирамиды DABC составляет \(\frac{1}{3} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 81 \right) \times \sqrt{AD}\).

После подсчета выражения в скобках, вы можете упростить ответ, если понадобится.