Каков радиус шара, в который вписана треугольная правильная пирамида?

Чтобы найти радиус шара, в который вписана треугольная правильная пирамида, нам понадобится знать длину ребра пирамиды.

Давайте предположим, что ребро пирамиды имеет длину \(a\). Так как пирамида является правильной, то она имеет три равных боковых грани и равнобедренный треугольник на основании.

Чтобы найти высоту треугольника на основании пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. При этом, основание треугольника будет являться диагональю квадрата со стороной \(a\), и половина длины основания будет равна половине стороны квадрата, то есть \(\dfrac{a}{2}\).

Определим высоту треугольника \(h\) с помощью теоремы Пифагора:
\[
h^2 = a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2
\]
\[
h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4}
\]
\[
h^2 = \dfrac{4a^2 - a^2}{4}
\]
\[
h^2 = \dfrac{3a^2}{4}
\]
\[
h = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a
\]

Теперь, чтобы найти радиус \(R\) шара, вписанного в пирамиду, мы можем использовать подобие треугольников. Радиус шара будет являться высотой треугольника, умноженной на коэффициент подобия самого треугольника и подобия его проекции на основание пирамиды.

Коэффициент подобия треугольников можно получить, разделив длину радиуса шара на длину его высоты:
\[
k = \dfrac{R}{h}
\]
\[
k = \dfrac{R}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} a}
\]

Добавляя в нашу картину треугольник на основании пирамиды, мы получаем пирамиду с тремя равными и подобными треугольниками. Так как у этой пирамиды 6 боковых граней, то каждая боковая грань будет образовывать по одному треугольнику на основании пирамиды.

Теперь, чтобы найти полупериметр \(s\) треугольника основания, мы можем использовать формулу:
\[
s = \dfrac{3a}{2}
\]

С учетом этого, соотношение между радиусом шара \(R\) и длиной его высоты \(h\) будет следующим:
\[
k = \dfrac{R}{h} = \dfrac{R}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} a}
\]

Используя базовые сведения о пирамиде, мы можем установить соотношение между радиусом шара \(R\) и длиной ребра \(a\), используя выражение для полупериметра треугольника основания \(s\):
\[
k = \dfrac{R}{h} = \dfrac{R}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} a} = \dfrac{R}{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3a}{2}} = \dfrac{2R}{\sqrt{3}a}
\]

Таким образом, мы нашли соотношение \(k\) между радиусом шара \(R\) и длиной ребра \(a\). Теперь мы можем выразить радиус шара:
\[
R = ka = \left(\dfrac{2R}{\sqrt{3}a}\right)a
\]
\[
R = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}
\]
\[
\dfrac{R\sqrt{3}}{2} = R
\]

Теперь найдем радиус шара.
\[
\dfrac{R\sqrt{3}}{2} = R
\]
\[
R\sqrt{3} = 2R
\]
\[
\sqrt{3} = 2
\]

Здесь возникает противоречие: равенство \(\sqrt{3} = 2\) неверно. Из этого следует, что данная треугольная правильная пирамида не существует, и мы не можем найти радиус шара, в который она вписана.

Таким образом, мы не можем решить данную задачу, так как в такой пирамиде не существует шара, в который она можно было бы вписать.