Каков радиус планеты (в километрах), у которой первая космическая скорость составляет 12 километров в секунду

Чтобы найти радиус планеты, используем формулу для вычисления первой космической скорости:

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{r}}}\]

где \(v\) - первая космическая скорость, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\) м\(^3\) кг\(^{-1}\) с\(^{-2}\)), \(M\) - масса планеты, \(r\) - радиус планеты.

Мы также знаем, что ускорение свободного падения (\(g\)) на данной планете равно 15 м/с\(^2\).

Для того чтобы связать ускорение свободного падения с массой планеты и её радиусом, воспользуемся формулой для ускорения свободного падения:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно \(M\) и \(r\). Перепишем второе уравнение, чтобы выразить \(M\):

\[M = \frac{{g \cdot r^2}}{{G}}\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot \left(\frac{{g \cdot r^2}}{{G}}\right)}}{{r}}}\]

Упростим выражение:

\[v = \sqrt{{2 \cdot g \cdot r}}\]

Теперь, имея значение \(v\), мы можем решить уравнение относительно \(r\):

\[r = \frac{{v^2}}{{2 \cdot g}}\]

Подставим известные значения и рассчитаем радиус планеты:

\[r = \frac{{(12 \, \text{км/с})^2}}{{2 \cdot 15 \, \text{м/с}^2}}\]

\[r = \frac{{144 \, \text{км}^2/\text{с}^2}}{{30 \, \text{м/с}^2}}\]

Ответ: радиус планеты составляет 4.8 километра.